Нормированное матричное пространство

Множество матриц одинаковой размерности образует линейное пространство. Это пространство можно сделать нормированным.

Нормой матрицы называется вещественное неотрицательное число , такое что:

1.

2.

3.

4.

При выполнении только первых трех аксиом норма матрицы называется аддитивной, при выполнении и четвертой – мультипликативной. Наиболее употребительными нормами матриц являются:

Первая норма:

Евклидова норма матрицы:

Бесконечная норма:

Вторая или спектральная норма матрицы: (здесь спектральное множество матрицы, - спектральный радиус матрицы). для матрицы простой структуры. В общем случае максимальное сингулярное число матрицы [1].

Норма матрицы называется согласованной с векторной нормой, если выполняется неравенство:

Пусть задана любая векторная норма. Матричная норма

называется подчиненной нормой для заданной векторной нормы.

Подчиненная норма матрицы характеризует максимально возможное относительное увеличение по норме ненулевого вектора при воздействии на него матрицы.

Первая, бесконечная и спектральная норма матрица являются подчиненными для первой, бесконечной и второй соответственно нормам векторов.