Метрическое пространство

В математическом анализе было введено понятие предела. При этом для точек числовой оси определено понятие «близости», то есть расстояние между точками. Аналогичное понятие близости можно ввести и в множествах другой природы.

Так, в линейном пространстве со скалярным произведением (Евклидовом пространстве) введено расстояние между векторами

Это расстояние обладает теми же свойствами, что и расстояние на числовой оси.

Множество называется метрическим пространством, если для каждой пары его элементов поставлено в соответствие вещественное неотрицательное число, называемое расстоянием (метрикой) и обладающее следующими свойствами:

Пусть - бесконечная последовательность, где

- называется пределом этой последовательности, если последовательность метрик стремится к нулю.

Такая последовательность называется фундаментальной или последовательностью Коши: такое что

Метрическое пространство называется:

· полным, если любая фундаментальная последовательность сходится к некоторой точке из ;

· компактным, если любая бесконечная последовательность точек из содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из . Компактное метрическое пространство называется также компактом;

· вполне ограниченным, если пространство есть объединение конечного числа открытых шаров радиуса

Точка называется предельной точкой множества , если существует последовательность такая что . При этом любая окружность с центром в содержит бесконечно много точек множества .

Множество элементов множества называется компактным, если бесконечной последовательности множество содержит в себе сходящуюся подпоследовательность.