Гильбертово пространство

Гильбертово пространство - бесконечномерное полное пространство со скалярным произведением.

Так, пространство вещественных интегрируемых в квадрате функций есть Гильбертово пространство со скалярным произведением

или со скалярным произведением ,

где - весовая функция.

Для Гильбертового пространства комплексных интегрируемых в квадрате функций скалярное произведение вводится как (где черта сверху означает комплексное сопряжение).

Если определить норму как , то пространство становится Банаховым. Это пространство интегрируемых в квадрате функций бесконечномерное. линейно - независимая система элементов, базис этого пространства.

Любую функцию из можно приблизить многочленами в среднем.

Сходимость в среднем. Пусть функции принадлежат . Если , то последовательность функций сходится в среднем.

Сходимость в среднем в себе. Пусть функции принадлежат . Если , то последовательность функций сходится в среднем в себе.

Сходящиеся в себе последовательности называются фундаментальными. Чтобы последовательность функций сходилась в среднем к некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность была фундаментальной. Пространство полно, то есть всякая фундаментальная последовательность функций из сходится к функции, также принадлежащей .

Две функции из называются эквивалентными на , если лишь на множестве меры ноль. Тогда говорят, что почти всюду на .