Нормированное векторное пространство

Вещественное или комплексное векторное пространство называется нормированным, если каждому элементу ставится в соответствие вещественное неотрицательное число – норма, для которой выполняются следующие аксиомы:

Если , то нормированное пространство становится метрическим. Такое пространство обладает двумя дополнительными свойствами:

Сходимость элементов в такой метрике называется сходимостью по норме, ограниченность множества векторов - ограниченностью по норме и т.д. Норма может быть введена множеством способов. Две нормы называются эквивалентными, если для всякого элемента пространства существуют такие положительные числа , не зависящие от элементов пространства , что выполняется неравенство

Числа называются константами эквивалентности. В нормированном пространстве любые две нормы эквивалентны.

Пусть в линейном пространстве векторы заданы своими координатами относительно некоторого базиса , . То есть для вектор-столбца справедливо разложение по базису с координатами . Здесь и далее запись означает: «целое изменяется от до с шагом один, если меньше , и от до с шагом минус один, если от больше ».