Подчиненная норма матрицы

Лемма1. Подчиненная норма матрицы согласована с векторной нормой и мультипликативна.

Доказательство: Действительно, по определению подчиненной нормы, . То есть и , что доказывает мультипликативность нормы в случае, когда вторая матрица – вектор-столбец, то есть согласованность подчиненной нормы матрицы с векторной нормой.

В случае, когда , и - две квадратные матрицы и вектор-столбец (произведение ассоциативно, т.е ), получаем . Далее , используя согласованность подчиненной нормы . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Лемма2. Спектральный радиус матрицы простой структуры не более любой другой нормы матрицы .

Доказательство:

По определению спектрального радиуса .

Пусть максимальное по модулю собственное число матрицы , , соответствующий собственный вектор, то есть . Таким образом, учитывая Лемму

,

Но . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Теорема. Для матрицы простой структуры вторая (евклидовая) подчиненная норма матрицы совпадает с её спектральным радиусом

Доказательство:

Для матрицы простой структуры существует базис из собственных векторов , по которому можно разложить произвольный вектор пространства

Воздействие матрицы на произвольный вектор сводится к

,

где собственная пара матрицы .

Для евклидовой нормы вектора

Следовательно,

С другой стороны для собственного вектора, отвечающего максимальному собственному числу, получаем

и

Остается принять, что , ч.т.д.

Подчиненная евклидовая (вторая) норма матрицы простой структуры называется также спектральной нормой. Вследствие доказанных теорем спектральная норма минимальна среди всех норм матрицы простой структуры.

Покажем, как получаются формулы для подчиненных норм матрицы исходя из ее векторных норм. Покажем, например, что первая подчиненная норма матрицы записывается в виде :

- по определению подчиненной нормы.

− по определению первой векторной нормы, где − координаты вектора в некотором базисе , .

Распишем произведение матрицы на вектор:

.

Справедливы следующие неравенства:

И, следовательно, . Покажем, что существует такой вектор , на котором достигается максимум слева и он в точности равен максимуму справа. Возьмем вектор следующего вида , , где единственная единица стоит на месте , соответствующем максимальной сумме по столбцам справа в неравенстве. Для него и и равенство достигается. Таким образом, максимальная из всех сумма модулей элементов матрицы по столбцам.