Понятия стационарности, эргодичности, гауссовости совокупности двух случайных процессов. Разобрать пример двух стационарных, но нестационарно связанных случайных процессов

Свойство стационарности и эргодичности легко распространяется и на совокупности случайных процессов.

Определение: Совокупность случайных процессов {x(t), y(t)} называется стационарной в строгом смысле, если их совместная плотность вероятности любого n+n¢ -го порядка инвариантна к сдвигу во времени.

Определение: Совокупность случайных процессов {x(t), y(t)} называется стационарной в широком смысле, если их средние значения постоянны и все совместные корреляционные и автокорреляционные функции зависят только от разности времён, например:

Автокорреляционная функция в этом случае является чётной относительно t, покажем:

, (2.7.7)

совместная корреляционная функция обладает похожим свойством:

. (2.7.8)

Совокупность {X(t),Y(t)}называется гауссовой, если случайные процессы X(t),Y(t) имеют совместное гауссовское распределение. Вспомним, что вектор есть матрица-столбец:

У нас есть вектора наблюдения, составим объедененный вектор:

Объеденный вектор имеет гауссовское распределение если вектора X(t),Y(t) – образуют совместное гауссовское распределениеВообще говоря: по отдельности они могут быть гауссовыми, а совокупность не гауссовское распределение:

для n=1, n’=1

задано W(x,y) для

Далее, по умолчанию стационарность будет пониматься, как стационарность в широком смысле.

Вообще говоря, если два случайных процесса стационарны по отдельности, то они могут и не образовывать взаимно стационарную совокупность. Рассмотрим частный случай: пусть даны два случайных процесса {x(t), y(t)} такие, что:

,

где x(t),h(t) – два стационарных случайных процесса с нулевыми средними, причём они некоррелированные между собой и выполняется: K_x [t]=K_h [t]=K[t]. Покажем, что x(t), y(t) – стационарны по отдельности, но образуют взаимно нестационарную совокупность:

,

аналогично:

,

,

для K_y[t, t+t] получается такое же выражение, покажем что для взаимной корреляционной функции зависимость от t устранить не удастся:

,

из чего следует взаимная не стационарность совокупности процессов {x(t), y(t)}.

21.Свойства корреляционной функции произвольного нестационарного случайного процесса.