Детерминированные и квазидетерминированные процессы, их описание в рамках теории случайных процессов, выражения для n-мерных плотностей вероятности

x(t) = S(t) – детерминированная функций времени.

Замечание: описывать детерминированный процесс с помощью аппарата обобщённых функций нет смысла, он полностью задаётся s(t).

Def. Квазидетерминированным СП назовём процесс, реализации которого задаются детерминированной функцией времени, содержащей один или несколько случайных параметров.

x(t)=S(t,l), где S(t,l) – заданная детерминированная функция. Вся квазидетерминированность сидит в параметре l. W_l (l) – плотность вероятности случайной непрерывной величины l.

Зафиксируем l и найдём условную плотность вероятности (уже для полностью детерминированного процесса).

Тогда по свойству согласованности:

№35. Преобразование спектральной плотности мощности, функции корреляции II-го рода при прохождении случайного процесса через линейную систему.

|

|F^-1

л.с.

Пример:

x(t)=e^jωt

№8. Кумулянтные функции случайного процесса, их связь с характеристической функцией. Связь между кумулянтными и моментными функциями (на примере функций 1-го и 2-го порядка).

Кумулянтные функции вводятся как коэффициенты разложения в ряд Тейлора

Таким образом, задание всех кумулянтных функций эквивалентно заданию n-мерной характеристической функции.

Связь между кумулянтными и моментными функциями произвольного случайного процесса:

S=1

, где и

S=2

, где

, , , ,

Кумулянтная функция S-порядка выражается через моментную функцию S-порядка и моментные функции низших порядков.

№30. Сигналы II-ой группы. Спектральная плотность мощности. Соответствие между спектральной плотностью мощности и корреляционной функцией для стационарных случайных процессов (формула Винера-Хинчина).

x(t) – сигнал II-ой группы, если для него средняя энергия бесконечная, а средняя мощность конечна.

при T→8

x_T(t) – сигнал I-ой группы

при T→8

Спектральной плотностью мощности сигнала II-ой группы будем называть предел

x(t) – стационарный случайный процесс

- формула Винера-Хинчина

№32. Привести примеры стационарных сигналов II-ой группы (типичных пар: корреляционная функция - спектральная плотность мощности). Как влияет постоянное смещение на вид спектральной плотности мощности случайного процесса.

1)«δ» - дельта корреляционный случайный процесс

2)экспонициальный корреляционный случайный процесс

3)гауссова корреляционная функция

4)

5)

6) ,

,

Влияние среднего значения (постоянного смещения) на вид спектральной плотности мощности случайного процесса

Корреляционная функция смещается вверх по оси y на величину <x>², а на графике спектральной плотности мощности случайного процесса появляется ещё одна составляющая:

№33. Спектральная плотность мощности детерминированного гармонического сигнала, квазигармонического сигнала со случайной фазой и гармонического сигнала, модулированного по амплитуде стационарным случайным процессом.

1) , φ – случайная величина

S_x не зависит от φ, поэтому разные случайные детерминированные процессы могут иметь одинаковую спектральную плотность мощности.

2) , ξ(t) – стационарный случайный процесс

время корреляции

№34. Ширина спектра случайного процесса, ее связь со временем корреляции. Узкополосные случайные процессы.

- max достигается в нуле

- узкополосные сигналы

- всегда чётная; если спектр симметричен относительно , то

Рассмотрим узкополосный сигнал , где A(t) и φ(t) – медленные процессы

Данный сигнал можно представить в виде:

, где

- квадратурные компоненты узкополосного случайного процесса

№36. Приближение “белого шума”. Квазистатистическое приближение.

а)

, где - широкая, а - узкая, поэтому

Приближение «белого шума» можно использовать для узкополосной системы

б)

№37. Совместные функции корреляции (I и II-го рода) и спектральные плотности (энергии и мощности). Спектральная плотность мощности на выходе суммирующей цепочки.

{x(t),y(t)}

1) x(t) & y(t) – сигналы первой группы

- взаимная функция корреляции первого рода

а)

б)

(*)

- чётная составляющая взаимной спектральной плотности энергии

- нечётная -//-

2) Сигналы 2-ой группы

x(t) и y(t) – стац. совокупности:

Пример (спектральная плотность мощности на выходе сумматора):

а)x(t)=y(t)

б) x(t)=-y(t)

39. Корреляционная функция спектральных компонент случайного процесса и ее свойства.

- корр. функция спектральных компонент

Св-ва:

1)

2)

3)

16.Привести пример стационарного, но неэргодического случайного процесса (статистического ансамбля) с доказательством и обсуждением причин не эргодичности.

x(t)=x(t)+A

x(t) – стационарный эргодический процесс <x(t)> = 0

задана K_x [t]=B_x [t]

А – случайная величина с некоторым законом распределения <A>=0

<x(t)A> = 0 à некоррелированы

является ли x(t) эргодическим?

B_x [t]=K_x [t]=<x(t)x(t+t)>=<x(t)x(t+t)>+<A²>+<x(t)A>+<x(t+t)A>= B_x [t]+<A²>

Проверим: à x(t) стационран, неэргод. процесс

= 0, т,к x(t) – эргод.

38. Взаимная спектральная плотность мощности (СПМ) и функция когерентности. Их практическое использование для решения задач технической диагностики.

{x(t),y(t)}

1) x(t) & y(t) – сигналы первой группы

- взаимная функция корреляции первого рода

а)

б)

(*)

- чётная составляющая взаимной спектральной плотности энергии

- нечётная -//-

2) Сигналы 2-ой группы

x(t) и y(t) – стац. совокупности:

(далее аналогично пункту 1 с (*), только заменяй ).

3) , =>

Пример:

=>

в)

=> - взаимная СПМ входа и выхода.

Обратная задача:

г) св-во ограниченности по модулю

- функция когерентности (коэффициент корреляции спектральных компонент).

- не когерентны на w₀;

- некоррелирующие процессы;

- x(t) и y(t) полностью когерентны;

Пример:

Т.е. для любой ЛС ф-ия когерентности =1. Иначе:

1) система НЛ

2) существует дополнительный источник шума между x(t) и y(t).

Корреляционная функция спектральных компонент стационарного случайного процесса, ее выражение через спектральную плотность мощности, взаимная корреляционная функция на выходе двух линейных фильтров, на вход которых подается один и тот же случайный процесс.

x(t) – стац. случайный процесс.

- бесконечный набор дельта-функций огибающая к которым – СПМ.

Доказано: . Из формул видно, что если k₁ и k₂ не перекрываются, то взаимная корреляция этих процессов равна нулю. Фильтры вырезают в спектре определённые компоненты. Поэтому если при перекрытии есть одинаковые – получаем ненулевую корреляцию.

17.Необходимые и достаточные условия эргодичности по отношению к корреляционной функции случайного процесса (для произвольного и гауссовского процессов).