![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Свойства с 1 по 4 будем называть К-свойствами (свойства корреляционной функции для стационарных случайных процессов)
7. Моментные функции случайного процесса. Среднее значение и корреляционная функция. Связь моментных функций с характеристической функцией.
Случайный процесс можно описывать с помощью n-мерной плотности вероятности или n-мерной характеристической функции, но это описание не всегда удобно. Введем моментные функции случайного процесса:
(2.4.2)
Здесь a1 (t)– моментная функция первого порядка, совпадающая со средним значением mx (t) случайного процесса; a2 - моментная функция второго порядка, совпадающая с корреляционной функцией Kx [ t1,t2 ] случайного процесса; a s - моментная функция порядка s.
Некоторые моменты времени могут совпадать, тогда моментную функцию записывают в виде
и называют n-мерная моментная функция порядка s.
n i – количество моментов времени, равных ti
s=n1+...+nn – порядок моментной функции (s ³ n)
n – мерность моментной функции
Видно, что для нахождения n-мерной моментной функции порядка s нужно знать n-мерную плотность вероятности случайного процесса. В частном случае, при n=1, моментная функция порядка s выглядит так:
Найдем связь моментных функций и характеристической функции случайного процесса. Для этого разложим характеристическую функцию q(u1,t1;...;un,tn) в ряд Маклорена по аргументам ui в окрестности u1 = 0,..., un = 0:
(2.4.3)
Рассмотрим частные производные. С учетом условия нормировки характеристической функции получим:
(2.4.4)
С учетом (2.4.4) формула (2.4.3) примет вид:
(2.4.5)
Формула (2.4.5) дает связь моментных функций случайного процесса с его характеристической функцией. Таким образом, задание характеристической функции случайного процесса эквивалентно заданию всех его моментных функций.
Итак, случайный процесс можно описывать n-мерной плотностью вероятности, n-мерной характеристической функцией или n-мерными моментными функциями порядка s. И любой из этих способов полностью характеризует случайный процесс.
Далее рассмотрим еще один способ описания случайных процессов.
23. Типичные примеры корреляционных функций стационарных случайных процессов. Понятие времени корреляции.
1) Bx[t]=Dxd(t) - удовлетворяет всем K-свойствам
| 2) Bx[t]= ![]() ![]() | ||
3) Bx[t]= ![]() ![]() | 4) Bx[t]= ![]() ![]() | ||
5) Bx[t]= ![]() ![]() |
6) Bx[t]= ![]() ![]() ![]() |
Рассмотрим стационарный случайный процесс:
t0 – время, при котором можно пренебречь корреляцией, т.е. время корреляции (будем обозначать его как tкорр).
Bx[t]/sx2=Rx[t]
Время корреляции вычисляется по формуле:
Построим на нашем графике прямоугольник (рис. 9).
Тогда площадь прямоугольника будет равна площади под кривой.
Если процесс с заполнением, то интеграл берут по огибающей, т.е.
26. Среднее значение и корреляционная функция интегрального преобразования случайного процесса.
,
где -случайный процесс,
-детерменированная функция(ядро).
В каком смысле мы понимаем определенный интеграл в среднеквадратичном смысле - пишем сумму Римана, предельный переход в среднеквадратичном смысле.
Найдем среднее значение,
,
, (1)
и кореляционную функцию
=
,
, (2)
Имели ли право это делать: Можно строго доказать, что интеграл (1) существует в среднеквадратичном смысле, если существует двойной интеграл (2).
24. Дифференцирование случайного процесса. Корреляционная функция и среднее значение производной от нестационарного случайного процесса.
Пусть у нас имеется случайный процесс x(t) со средним значением mx(t)=<x(t)> и функцией корреляции Kx[t1,t2]=<x(t1),x(t2)>. Нам надо найти среднее значение mz(t) и корреляционную функцию Kz[t1,t2] процесса
z(t)=(x(t))’=
mz(t)=<z(t)>=< >=
=
Kz[t1,t2]=<z(t1),z(t2)>=< ,
>=
=
, т.е
Kz[t1,t2]=
Рассмотрим случай n-й производной:
=<
>=
=
=<
,
>=
=
В частном случае:
и
.
В общем случае:
28. Спектральная плотность энергии случайных сигналов I-ой группы, функция корреляции I-го рода, ее свойства.
По определению средняя полная энергия сигнала:
(3.3.11)
А средняя спектральная плотность энергии:
(3.3.11’)
Усредняя формулы (3.3.1), (3.3.4), (3.3.5) по статистическому ансамблю, получим
(3.3.12)
Усредняя (3.3.6) по статистическому ансамблю, получим
(3.3.13)
где (3.3.14)
Ψx[τ] - функция корреляции первого рода. Она связана со средней спектральной плотностью энергии обратным преобразованием Фурье, т.е.
(3.3.15)
Функция корреляции первого рода обладает всеми К- свойствами корреляционной функции стационарного случайного процесса:
Свойство симметричности:
Ограниченность по модулю:
Свойство положительной определенности: для всех значений ω выполняется .
, т.к. импульсы ограниченны во времени
Спектральная плотность энергии Эx(ω) обладает свойствами:
для всех значений ω.
Спектральная плотность энергии – четная функция (симметричная), т.е.
, т.к.
Смысл введения функции корреляции первого рода Ψx[τ] – найти способ вычисления спектральной плотности энергии Эx(ω)
25. Производная от стационарного случайного процесса, ее среднее значение и корреляционная функция
x(t) –стационарный, <x(t)>=mx=<x>.
Kx[t1,t2]=Kx[t2-t1]=Kx[t];
, т.е.
, т.е.
Корреляция и
:
Обобщение на случай производной более высокого порядка:
Пример 1. Стационарный случайный процесс , причем:
Максимум соответствует нулю
.
Вывод: для любого стационарного процесса, его значение и значение его производной в совпадающие моменты времени не коррелированны.
Пример 2. - случайный процесс, причем:
Такой процесс не дифференцируем в среднеквадратическом смысле, т.к. вторая производная
не ограничена
Сигналы I-ой группы. Спектральная плотность энергии детерминированного сигнала I-ой группы. Преобразование спектральной плотности энергии детерминированных сигналов I-ой группы при прохождении через линейные системы.
Будем говорить, что принадлежит к сигналам первой группы, если его полная энергия является ограниченной величиной:
(1)
- случайная величина, характеризующая распределение энергии по реализациям случайного процесса.
К сигналам первой группы относятся детерминированные сигналы конечной длительности; бесконечные, но достаточно быстро убывающие; все случайные импульсы. Относится ли стационарный сигнал к сигналам первой группы? У стационарного случайного процесса:
Следовательно интеграл (1) неограничен, т.е. стационарный случайный процесс не является сигналом первой группы.
Спектральная плотность энергии детерминированных сигналов первой группы.
- детерминированный процесс и
Запишем интеграл Фурье:
- спектральные составляющие сигнала.
Выражение энергии сигнала через спектральные компоненты:
Т.к. - действительный процесс
Спектральная плотность энергии не содержит информации о фазовом соотношении между спектральными компонентами.
Спектральная плотность энергии при прохождении через линейную систему.
При прохождении случайного процесса x(t) -сигнала первой группы через линейную систему (см рис.1) процесс на выходе рассматриваемой линейной системы можно записать при помощи интеграла Дюамеля:
(3.3.7)
где h(τ) – импульсная характеристика.
Свойства импульсной характеристики:
Если на вход поступает δ -импульс x(t)=δ(t), то y(t)=h(τ) – отклик системы.
Свойство физической реализуемости: при τ <0 h(τ) =0.
Свойство устойчивости:
Формула (3.3.7) не учитывает начальных условий и описывает отклик системы без учета собственных решений.
(3.3.7)=
Кроме импульсной характеристики для описания линейных систем используется переходный коэффициент передачи K(jω)
Переходный коэффициент передачи K(jω) связан с импульсной характеристикой Фурье-преобразованием, т.е.
(3.3.8)
(3.3.8’)
Как преобразуются спектральные компоненты сигнала?
Если задана функция - свёртка двух функций, то спектральная компонента сигнала преобразуется как
(3.3.9)
Помножаем на комплексно-сопряженную спектральную компоненту сигнала и получаем выражение для средней спектральной плотности энергии сигнала
(3.3.10)
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 428 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!