Симметричность

K_x[t₁,t₂]º K_x[t_2,t₁] (3.1.1)

K_xy[t₁,t₂]º K_yx[t_2,t₁]

1) Ограниченность по модулю:

/ K_xy[t₁,t₂] / (3.1.2)

Д-во: рассмотрим

(3.1.2)

при l=±1, получаем впомагательное неравенство: K_xy[x,y]£ K_x+K_y

2) Положительная определенность:

Для любого момента времени t₁,t₂,...,t_n и любых чисел U_1,U₂ ,...,U_n

справедливо неравенство:

берем X(t) и домножаем на :

можно получить обобщение; U –может быть комплексное значение, тогда

еще случай: X(t)-комплексный случайный процесс и U – комплексный

тогда

Рассмотрим как скалярную случайную величину:

причем считаем U(t) – детерминированной

Все приведенные свойства справедливы и для ковариационной функции, в частности

Ограниченнность по модулю:

(3.1.2’)

(3.1.2’’)

справедливо следующее неравенство:

Знак равенства выполняется во всех формулах 2 имеет место тогда и только тогда, когда между значениями случайных процессов x(t₁),y(t₂) имеет место «жесткая» (детерминированная) линейная зависимость.

y(t₂)=a(t₁,t₂)x(t₁)+b(t₁,t₂)

Д-во:

пусть имеет место линейная детерминированная связь, воспользуемся

s_y(t₂)=|a|s_x(t₁),

тогда

Обратное утверждение: если

то существует линейная детерминированная связь.

Рассмотрим нормированный центрированный процесс (Y – такой же)

тогда

22. Свойства корреляционной функции стационарного случайного процесса.