Приложения производной к исследованию функций и построению графиков. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Вогнутость кривой

Кривая называется вогнутой вверх в точке , если она лежит выше своей касательной, и вогнутой вниз - если ниже. Направление вогнутости кривой аналитически определяется по закону второй производной посредством признака вогнутости: если на интервале , то при этом интервале кривая вогнута вверх; при кривая вогнута вниз.

Точка кривой, в которой происходит изменение направления вогнутости, называют точкой перегиба. Признаком существования точки перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку. Точки перегиба отыскиваются среди нулей и точек разрыва .

По направлению вогнутости кривой можно определить характер экстремума функции: если , то в точке функция имеет минимум, если , и максимум, если .

Данный признак является следствием того, что в точке максимума график функции вогнут вниз, а в точке минимума вверх.

Пример: Исследовать на экстремум функцию .

Эта функция имеет производную , которая обращается в нуль в точках и . Вторая производная функции равна . При этом и . Согласно вышеуказанному признаку при функция имеет максимум, а при - минимум.