Производная неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование, дифференцирование функций, заданных параметрически

При неявном задании функция определяется как возможное решение уравнения . Производную такой функции можно найти, не прибегая к явному выражению функции.

Найти производную функции в точке А.

, .

Найдем производную функции , заданную неявно уравнением кривой. С этой целью продифференцируем обе части уравнения, считая аргументом, а – функцией от

.

Отсюда .

В некоторых случаях непосредственное дифференцирование функции является очень громоздким. Тогда может оказаться полезным предварительно ее прологарифмировать.

Примеры:

1) ,

,

.

Отсюда, .

2) ,

,

.

При параметрическом задании переменные и задаются как функции параметра : , . При этом в неявной форме устанавливается зависимость ,которую можно найти, если из первого параметрического уравнения выразим и подставим во второе: .

Правило дифференцирования параметрически заданных функций:

.

Пример.