Принципы построения систем распознавания в режиме обучения

Оптимизация структуры системы распознавания про­изводится на основе априорной информации о параметрах сигналов и критерия оптимизации. По этому критерию строится разделяющая поверхность в многомерном про­странстве признаков, которая все пространство призна­ков делит на непересекающиеся области, принадлежащие К классам, с указанием принадлежности соответствую­щей области к тому или иному классу.

В соответствии с критерием макси­мума апостериорной вероятности текущий образ на входе системы распознавания относится к тому классу, для которого апостериорная вероятность наибольшая. Выражение для апостериорной вероятности принадлежности текущего образа на входе системы распознавания к i -му классу имеет вид:

(4.127)

Это следует из определения условной вероятности:

,

откуда при

Получаем:

(4.128)

Отсюда с учетом (4.126) окончательное выражение для апостериорной вероятности принадлежности текущего об­раза на входе системы распознавания к i-му классу имеет вид (4.127). Область пространства признаков считается соответствующей i-му классу, если

Это выражение определяет систему (K-1) неравенств, ограничивающую в многомерном пространстве признаков область, принадлежащую i-му классу. Данная система неравенств с учетом (4.128) может быть записана в виде:

(4.129)

откуда видно, что при i=j неравенство превращает­ся в равенство.

В качестве примера на рис. 4.14 приведены кривые апостериорных вероятностей для трех классов образов на входе системы распознавания.

Рис. 4.14. Кривые апостериорных вероятностей для трёх классов образов

Из системы (K-1) неравенств вытекает выражение для разделяющей поверхности, оптимальной по критерию максимума апостериорной вероятности:

(4.130)

Соответствующая i-му классу область в многомерном пространстве признаков определяется системой неравенств (4.129):

(4.131)

Например, для трех классов образов выражения для гра­ницы области i-го класса, оптимальной по критерию максимума апостериорной вероятности, имеют вид:

(4.132)

Ha рис. 4.15 показаны границы и области для трех классов образов и двух признаков. На рисунке области классов представляют собой линии равных значений соответствующих плотностей вероятностей.

При использовании критерия мини­мума средней функции риска учитываются априорные вероятности появления соответствующих классов в качестве весовых коэффициентов риска каждого варианта распознавания и минимизируется средний риск:

min R = min ,

где условная функция риска для i-го класса т.е. сумма потерь при отнесении образов, принадлежащих объективно к i -му классу, к какому-либо из К классов.

Рис. 4.15. Границы и области трёх классов образов при двух признаках

Эта условная функция риска может быть найдена следующим образом. Обозначим через вероятность того, что система распознавания относит к i -му классу образ, принадлежащий к i-му классу. В этом случае

(4.133)

где S⁽ⁱ⁾(Х) >0 - система неравенств, определяющая область i -го класса. Система соотношений (4.133) мо­жет быть представлена в виде матрицы. Элементы этой стохастической матрицы удовлетворяют условию:

Отсюда можно найти условную функцию риска как произведение вероятности P_ij на соответствующие коэффици­енты матрицы потерь L:

(4.134)

Усреднение условных функций риска позволяет получить выражение для средней функции риска в случае К классов:

(4.135)

откуда можно определить оптимальную границу i-го класса (i =1,..., К).

Выражение (4.135) можно записать в виде:

(4.136)

где функция g_i(Х) определяется соотношением:

Можно показать, что минимальное значение R имеет место при

(4.137)

Минимальное значение средней функции риска достигает­ся при подстановке (4.137) в (4.135). Можно рассматри­вать ситуации, когда некоторые условные функции рис­ка, взятые с весами, равными априорным вероятностям появления соответствующих классов, равны между собой. Другой ситуацией может являться задание значения сос­тавляющей средней функции риска для одного из классов. Требование обеспечить заданные значения двух и более составляющих средней функции риска при минимизации средней функции риска

4.4. Методы фильтрации гидроакустических сигналов