Оптимальная линейная интегральная фильтрация

Формулировка задачи фильтрации случайных функций состоит в том, что требуется произвести опенку сигнальной функции по наблюдённой функции u(t), статистически связанной с s(t). Эта проблема занимает в оптимальном синтезе статистических сис­тем центральное место. Многие практически важные задачи обна­ружения, оценки параметров сигналов, классификации, оптимального управления требуют решения соответствующих задач фильтрации. Эти задачи решаются в пространстве тех функций, в которых пред­ставлен соответствующие сигнал (пространственная фильтрация, временная, частотная и т.д.)

Фильтр, как инерционная система, осуществляющая преоб­разование входного процесса в выходной, предполагает, что зна­чение напряжения на его выходе в момент t зависит не от од­ного только значения напряжения на входе в этот же момент, а определяется значением за некоторый промежуток времени . Наиболее широко в ГАС используются линейные фильтры с пocтoянными параметрами, поскольку они просты в технической реализуемости, хорошо развита их теория, во многих случаях линейные фильтры являются оптимальными в смысле некоторого критерия. Для линейных фильтров, в отличие от нелинейных, выпол­няется принцип суперпозиции, суть которого состоит в том, что отклик системы на cyмму любых воздействий равен сумме откликов на каждое отдельное воздействие, т.е.

(4.138)

Линейный фильтр полностью характеризуется откликом на элементарные воздействия, в качестве которых обычно принимают гармонический сигнал или - функцию.

Если используется набор гармонических сигналов на входе фильтра, описываемых выражением то на выходе соответственно и фильтр характеризуется пере­даточной функцией:

(4.139)

где - амплитудно-частотная, - фазовая частотная характеристики, зная которые, можно найти выходной сигнал при любом воздействии. Для этого надо вычислить спектр входного сигнала:

затем определить спектр выходного сигнала , после чего найти отклик фильтра, применив обратное преобразован е Фурье:

(4.140)

Отклик фильтра на - функцию называют импульсной характеристикой фильтра зная которую, можно определить

.

Между и существует прямая зависимость, поскольку обе характеристики определяют полностью фильтр:

(4.141)

В ряде практических случаев представляет интерес знание как преобразуется спектральная плотность мощности при прохождении через линейный фильтр:

(4.142)

Рис. 4.16. Физическая интерпретация интеграла Дюамеля

Винеровская или интегральная фильтрация основана на пред­ставлении оптимального фильтра в виде интегрального оператора, а исходная задача сводится к решению интегрального уравнения Bинepa-Хoпфа, Это уравнение можно получить из следующих соображений. Используем метод Дюамеля,состоящий в разбиении воздействующего сигна­ла на смещенные во времени скачки и на­хождении откликов на них. Тогда отклик цепи в момент от элементарного импульса, действовавшего в момент ,будет равен где - отклик цепи на единичный импульс, возникающий в момент , -площадь элементарного импульса, как показано на рисунке.

Учитывая, что начало сигнала не фиксиро­вано, а также выполнение условия при , можно записать:

Поскольку на входе действует смесь сигнала и помехи, то, очевидно, что процесс на выходе есть оценка:

(4.143)

Средний квадрат ошибки в момент времени t равен:

(4.144)

при

Минимизация при использовании, например, методов вариационного исчисления приводит к искомому уравнению Винера-Хопфа в виде:

откуда видно, что для синтеза оптимального линейного фильтра, минимизирующего средний квадрат ошибки, необ­ходимы только ковариационная функция принимаемого сиг­нала и взаимная ковариационная функция между жeлaeмым и принимаемым сигналами.

Для белого шума, например,

и

Развитием интегральной фильтрации является дина­мическая фильтрация, развитая в работах Калмана, Бьюси и реализуемая в нескольких подходах. Один из них сос­тоит в том, что интересующие нас процессы описываются не при помощи ковариационных функций, а при помощи линейных, с изменяющимися во времени параметрами систем, которые генерировали бы их при подаче на входы систем белого шума.