Оптимальная линейная динамическая фильтрация

Как известно, сущность фильтрации состоит в не­прерывном оценивании изменяющихся во времени парамет­ров случайного процесса. Если сообщение является ска­лярным марковским процессом (для стационарного гауссовского процесса это означает, что ковариационная функ­ция имеет вид Aexp(-B|t-u|), то решение задачи может быть основано на следующих принципах, упрощающих дости­жение цели:

-описание интересующих нас процессов следует выполнять при помощи линейных систем с изменяющимися во времени параметрами, которые генерировали бы их при подаче на входы систем белого шума;

-линейную систему, генерирующую сообщение, следует описывать при помощи дифференциального уравнения, решением которого является искомое сообщение;

-оптимальную оценку как выходную величину линей­ной системы следует задавать как решение дифференци­ального уравнения, коэффициенты которого определяются статистикой процессов.

Линейные системы, построенные по указанным принципам, носят название фильтров Калмана-Бьюси, которым принадлежат оригинальные работы в этой области. В отличие от этих принципов в интегральной винеровской фильтрации описание процессов осуществляется с помощью ковариационных функций, линейных систем - с помощью импульсной переходной характеристики, оптимальных оце­нок - как решение интегрального уравнения Винера-Хопфа.

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра Калмана в канонической форме имеет вид:

(4.145)

где -матричный коэффициент усиления опти­мального фильтра.

Фильтр Калмана осуществляет динамическую оптимальную фильтрацию нестационарных случайных процессов. Ре­шение задачи оптимальной фильтрации сводится к решению системы векторно-матричных дифференциальных (или раз­ностных) уравнений. Этот метод позволяет оперировать замкнутой системой уравнений в рекуррентной форме, что является наиболее удобным при технической реализации. По существу, фильтр Калмана представляет собой вычислительный алгоритм обработки информации, использующий комплекс априорных сведений об исходной системе (структура, параметры, статистические характеристики шумов состояния и шумов измерения, сведения о начальных ус­ловиях и т.д.). Такой фильтр производит статистическую обработку информации наблюдения с учетом динамических свойств модели исходной системы. Структура калмановского фильтра представляет собой модель исходной динамичес­кой системы с коррекцией ошибки фильтрации корректирую­щим сигналом

(4.146)

где - корректирующий сигнал вида:

(4.147)

В этом случае оптимальный нестационарный динамический фильтр Калмана представляет собой замкнутую автомати­ческую систему регулирования, содержащую математичес­кую модель исходной системы, причем на выходе модели вырабатывается оценка состояния, а на вход поступает сигнал коррекции с матричным нестационар­ным коэффициентом усиления K(t):

(4.148)

Следовательно, алгоритм динамической фильтрации основан на классическом принципе регулирования по от­клонению с матричным коэффициентом усиления K(t), обеспечивающим минимальную среднюю квадратическую ошибку фильтрации. Корректирующий сигнал состоит из текущего сигнала наблюдения z(t) за сос­тоянием исходной системы, дополненного текущим сигна­лом состояния модели исходной системы. Сигнал является сигналом коррекции ошиб­ки фильтрации и характеризует дополнительную информацию между текущими измерениями z(t) и оценками состояния, полученными по результатам оценок , предшествующих текущим измерениям z(t). Матричная cxeма оптимального фильтра Калмана имеет вид, показанный на рис. 4.18. Эта схема реализует алгоритм динамической фильтрации, когда состояние исходной системы задается дифференциальными уравнениями, правая часть которых не зависит от наблюдения.

Оптимальная дискретная фильтрация Калмана получила особенно большое распространение в связи с развитием ем дискретных методов обработки информации. Она явля­ется распространением результатов непрерывной оптимальной динамической фильтрации на дискретные динамические системы, описываемые разностными векторно-матричными уравнениями.

Рис. 4.17. Матричная схема оптимального фильтра Калмана

Уравнение оптимального линейного фильтра позволя­ет последовательно вычислять оценки. Для вычисления оценки используются только предыдущие значе­ния оценки и номер параметра . Значе­ние оценки в момент вычисляется из оценки в мо­мент с добавлением взвешенной разности между измерением в момент и оценкой измерения в момент , Такой способ вычисления оценок называется ре­курсивным. Таким образом, дискретный фильтр Калмана в рекуррентной форме осуществляет рекурсивную процедуру вычисления последовательных оценок, требующую запоминания на каждом шаге небольшого числа результатов вычислений.

Матричная схема дискретного фильтра Калмана по­казана на рис. 4.19 совместно с моделями исходной динамической системы и измерительной системы.

Рис. 4.18. Матричная схема дискретного фильтра Калмана

Основой для вывода уравнения фильтрации являются уравнения состояния динамической системы и уравнение наблюдения (измерения). Уравнение состояния линейной динамической систе­мы описывается системой разностных уравнений в векторно-матричной форме:

(4.149)

где - переходная матрица состояния раз­мерности , -мерный вектор состоя­ния динамической системы; - матрица возмущения, или входного сигнала размерности ; - -мерный вектор случайной гауссовской последовательности.

Уравнение наблюдения (измерения) сигнала получаемого на выходе модели измерительной системы, описывается разностно-векторным уравнением:

(4.150)

где -мерный вектор наблюдения (измерения); -мерный вектор случайной гауссовской некоррелированной последовательности ошибок измерения, искажающих результат наблюдения за состоянием динами­ческой системы; матрица измерений размерности

Предположим, что известны оценка состояния системы в момент и матрица переходов ). Тогда эту оценку можно принять за начальную и вычислить оценку на момент времени в соответствии с уравнением:

Эта оценка является предсказанной (экстраполированной) по результатам предыдущих наблюдений. При ее вычисле­нии не использовалось последнее измерение сос­тояния динамической системы, проведенное в момент . Это приведет к ошибкам в оценке вектора состояния системы. Погрешность оценки в момент че­рез матрицу перехода распространяется на все последующие оценки в , и при длительном времени работы фильтра ошибки могут накопиться и привести к неудовлетворительным результатам. Оценку можно улучшить, если использовать измерения в момент времени и сформировать корректирующий сигнал:

(4.151)

Корректирующий сигнал исправляет оценку с соответствующим весовым коэффициентом , обеспечивающим удовлетворение критерия оптимальности:

(4.152)

где - улучшенная оценка состояния динамической системы, использующая последнее измерение наблюдаемого сигнала в момент времени .

Выражение для улучшенной оценки вектора состояния с коррекцией по сигналу можно записать в виде:

(4.153)

где - весовая матрица корректирующего сигнала . Отсюда

(4.154)

Подставив в это выражение (9.14), получаем уравнение дискретного фильтра Калмана в канонической форме:

(4.155)

О птимальный коэффициент передачи такого фильтра должен обеспечить минимум средней квадратической ошиб­ки фильтрации в соответствии с условием (4.152).

Контрольные вопросы к Главе 4

1. Какие критерии принятия решения применяются в ГАС НК?

2. В чём сходство и отличие критериев обнаружения «Идеального наблюдателя», «Неймана – Пирсона» и «Вальда»?

3. Какова физическая сущность вероятностей правильного обнаружения, правильного необнаружения, пропуска сигнала и ложной тревоги?

4. Как соотносится вероятность ложной тревоги «в точке» и многоканальной системы?

5. Как выбирается порог обнаружения при реализации критерия Неймана-Пирсона?

6. Как выбирается порог обнаружения при реализации критерия Котельникова-Зигерта?

7. Как выбирается порог обнаружения при реализации критерия обнаружения Вальда?

8. В чём адекватность и особенности корреляционного приёмника и согласованного фильтра?

9. В чём суть состоятельности оценки?

10. В чём суть эффективности оценки?

11. В чём суть несмещённости оценки?

12. Что представляет собой информационная матрица Фишера?

13. Как строится пеленгационная характеристика гидролокатора?

14. Как формируется словарь признаков и алфавит образов объектов гидролокации?

15. В чём адекватность и отличие понятий классификации и распознавания гидролокационных объектов?