Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке

Переходим к рассмотрению односторонних пределов функции в точке x ₀, при которых переменная x «движется» к x ₀ слева (левосторонний предел) или справа (правосторонний предел). Нам потребуется понятие полуокрестности.

Пусть d > 0. Интервал (a, x ₀) называется левой полуокрестностью точки x ₀, интервал (x ₀ – d, x ₀) – левой d-полуокрестностью точки x ₀. Интервалы (x ₀, b), (x ₀, x ₀ + d) называются, соответственно, правой полуокрестностью и правой d-полуокрестностью точки x ₀ (см. рис. 1.8, 1.9).

Пусть f (x ₀) определена в левой полуокрестности точки x ₀.

Число b называется левосторонним пределом функции f(x) в точке x ₀ (обозначение: f(x) = b), если для любого e > 0 найдется d > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих левой d -полуокрестности (x ₀ – d, x ₀), выполняется неравенство:
| f(x) – b | < e.

Символически f (x) = b означает: " e >0$ d > 0 " x (x ₀ – d < x < x ₀ ® | f (x) – b | < e) (см. рис. 1.8).

Аналогично, число b называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x ₀ (обозначение: f (x) = b), если для любого e > 0 найдется d > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих правой d -полуокрестности (x ₀, x ₀ + d), выполняется неравенство: | f (x) – b | < e (см. рис. 1.9).

Символически f (x) = b означает: " e >0 $ d >0 " x (x ₀ < x < x ₀ + d ® | f (x) – b | < e).

Пример 3. Функция f (x) задана равенством (рис. 1.10):

f (x) = .

Найти f (x) и f (x).

Решение. Покажем, что f (x) = 1, а f (x) = 3.

Рассмотрим значения x < 1, тогда f (x) = 2 x – 1 и | f (x) – 1| = |2 x – 1 – 1| = 2| x – 1|. Зафиксируем малое e > 0. Подсчитаем: | f (x) – 1| < e Û 2 | x – 1| < e Û | x – 1| < . Так как x < 1, то
f (x) – 1| < e, если 1 – < x < 1, следовательно, d = . Итак, если 1 – < x < 1, то
| f (x) – 1| < e, т.е. f (x) = 1.

Рассмотрим значения x > 1, тогда f (x) = 4 – x. Зафиксируем e > 0,

| f (x) – 3| = |2 – x – 3| = |1 – x |. Отсюда | f (x) – 1| < e Û |1 – x | < e, т.е. | f (x) – 1 | < e для
x Î (1, 1 + e). Значит, f (x) = 3.

Очевидно, если f (x) = b, то f (x) = b и f (x) = b.

Верно и обратное, если f (x) = f (x) = b, то f (x) = b.

Если же правосторонний предел функции в точке x ₀ не равен левостороннему пределу функции в точке x ₀, то f (x) = b не существует. Так, в примере 3 функция f (x) не имеет предела в точке x ₀.