![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1) Пусть a – положительный острый угол, докажем = 1. Предварительно докажем, что
sin a = 0 и
cos a = 1.
Рассмотрим окружность радиуса R (рис. 1.12), OA = OC = R, тогда длина дуги АС равна: R × a, АВ = R ×sin a. Так как | AB | < | |, то 0 < sin a < a. Если a ® 0, то по теореме 8 (разд. 1.8)
sin a = 0. Докажем, что
cos a = 1. Так как cos a = 1 – 2sin2
, то на основании теорем о пределах получим:
cos a =
(1 – 2sin2
) = 1 – 2×0 = 1.
Вычислим теперь .
Из рис. 1.12 видим, что
S D OAC < S сектор OAC < S D ODC . (*)
S D OAC = R 2sin a, S сектор OAC =
R 2× a, S D ODC =
R 2tg a.
Подставляя последние выражения в неравенства (*), находим:
R 2sin a <
R 2× a <
R 2tg a. (**)
Деля все части неравенства (**) на положительное число R 2sin a, получим:
1 < <
или 1 >
> cos a (***)
Применяя к неравенству (***) теорему о сжатой переменной при a ® 0 получим:
= 1 (ведь
cos a = 1).
2) Пусть x < 0, x = – a, тогда a > 0, =
=
=1.
Итак, доказано, что = 1,
, а потому
.
С помощью этого предела находятся многие другие пределы, содержащие тригонометрические функции.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 326 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!