Доказательство. 1) Пусть a – положительный острый угол, докажем = 1

1) Пусть a – положительный острый угол, докажем = 1. Предварительно докажем, что sin a = 0 и cos a = 1.

Рассмотрим окружность радиуса R (рис. 1.12), OA = OC = R, тогда длина дуги АС равна: R × a, АВ = R ×sin a. Так как | AB | < | |, то 0 < sin a < a. Если a ® 0, то по теореме 8 (разд. 1.8) sin a = 0. Докажем, что cos a = 1. Так как cos a = 1 – 2sin² , то на основании теорем о пределах получим:

cos a = (1 – 2sin² ) = 1 – 2×0 = 1.

Вычислим теперь .

Из рис. 1.12 видим, что

S _{D OAC} < S _{сектор OAC} < S _{D ODC .} (*)

S _{D OAC} = R ²sin a, S _{сектор OAC} = R ²× a, S _{D ODC} = R ²tg a.

Подставляя последние выражения в неравенства (*), находим:

R ²sin a < R ²× a < R ²tg a. (**)

Деля все части неравенства (**) на положительное число R ²sin a, получим:

1 < < или 1 > > cos a  (***)

Применяя к неравенству (***) теорему о сжатой переменной при a ® 0 получим:

= 1 (ведь cos a = 1).

2) Пусть x < 0, x = – a, тогда a > 0, = = =1.

Итак, доказано, что = 1, , а потому .

С помощью этого предела находятся многие другие пределы, содержащие тригонометрические функции.