Предел последовательности

Как отмечалось раньше, любая последовательность a ₁, a ₂,..., a_n, ... есть функция натурального аргумента, a_n = f (n), n Î N. Определение предела последовательности почти дословно повторяет определение предела функции при x ®+Ґ.

Число b называется пределом последовательности { a_n }, если для любого e > 0 существует такое натуральное число n ₀, что для всех натуральных n, больших n ₀, выполняется неравенство: | a_n – b | < e. Обозначение: a_n = b.

Доказать самостоятельно, что = 0.

Предел функции при x ® -¥

Пусть функция y = f (x) определена на R или (–¥, a). Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к – ¥ (x ® –¥), если для любого положительного числа e существует такое x ₀, что для всех x, меньших x ₀, выполняется неравенство:
| f (x) – b | < e. Обозначение: f (x) = b.

Геометрически этот факт означает, что точки графика y = f (x) (рис. 1.5) приближаются как угодно близко к соответствующим точкам прямой y = b при движении x влево неограниченно и что по фиксированному e > 0 найдется число x ₀, такое, что для всех x, меньших x ₀, график y = f (x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми:

y = b + e, y = b – e.

Доказать самостоятельно, что = 0

Рассмотренные пределы объединяются общим названием «пределы на бесконечности». Не надо думать, что любая функция, определенная на R, имеет предел при x ® +¥ или x ® –¥. Например, sin x не существует, так как значения sin x при неограниченном возрастании x периодически меняются от –1 до +1, не приближаясь ни к какому постоянному числу. Аналогично, не существует sin x. Последовательность: a ₁= 1, a ₂= 3, a ₃= 5,..., a_n = 2 n – 1,... также не имеет предела.