Пределы функции на бесконечности

Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определение, подкрепленное примерами, а затем строгое определение.

Предел функции при x ® +¥

Пусть функция y = f (x) определена на множестве всех действительных чисел R или на бесконечном интервале (a, +¥).

Число b называют пределом функции f (x)при стремлении x к +¥ (x ® +¥), если значения f (x) приближаются к числу b как угодно близко при достаточно больших x.

Обозначение: .

Пример 1. Функция y = определена на интервале (0, +¥). Составим таблицу ее некоторых значений и построим ее график (рис. 1.2):

x
y				2,5	2,2	2,1	2,05

Из таблицы видно, что значения функции приближаются к числу 2 с увеличением x.

Убедимся, что = 2.

Разность показывает, на сколько отличается f (x) от 2. Так, если x равно 10, то f (x) отличается от 2 на 1/10, а если x = 100, то f (x) – 2 = 1/100. Разность
f (x) – 2 может стать меньше любого заданного положительного числа e, если x взять достаточно большим. Например, e = 1/1000. Чтобы определить, для каких значений x выполняется неравенство f (x) – 2 < 1/1000, надо решить это неравенство: , отсюда x > 1000.

Пусть e – произвольное (малое) положительное число, тогда найдется такое x ₀, что f (x) – 2 < e для всех x > x ₀. Действительно, f (x) – 2 = , < e, x > . Обозначив x ₀ = , получаем, что для всех x, если x > x ₀, то f (x) – 2 < e. Итак мы показали, что = 2.

Пример 2. Функция y = определена на (–2, +¥). Выпишем таблицу ее некоторых значений и построим график (рис. 1.3).

x
y

Из таблицы значений и графика (рис. 1.3) видим, что с ростом x значения f (x) приближаются к 1, оставаясь меньше 1.

Покажем, что =1. Разность f (x) – 1 отрицательна, поэтому вычислим ее абсолютную величину:

Покажем, что | f (x) – 1| может стать меньше любого заданного положительного числа e при достаточно больших x. Для этого решим неравенство < e, получим: 2 + x > , и x > – 2. Обозначим: x ₀ = 2. Таким образом, если x > x ₀, то
| f (x) – 1| < . Например, возьмем в качестве e число 0,01, тогда:

x ₀ = – 2 = 300 – 2 = 298, x ₀ = 298.

Если x > 298, то < 0,01. Этим мы показали, что = 1 (рис. 1.3).

Дадим строгое определение предела функции при x ® +¥.

Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к + ¥, если для любого положительного числа e найдется такое число x ₀, что для всех x, больших x ₀, выполняется неравенство:

f (x) – b | < e.

Геометрическая интерпретация этого определения приведена на рис. 1.4. В логических символах это определение выглядит так:

f (x) = b означает " e > 0 $ x ₀ " x > x ₀ (| f (x) – b | < e).

Пример 3. Доказать, что = 0 x Î (0, +¥).

Доказательство: f (x) = . Зафиксируем произвольное e > 0, покажем, что найдется такое x ₀, что для всех x, больших x ₀: | f (x) – 0 | < e. Действительно,

| f (x) – 0 | = = ;
< e Û x > .

Обозначим: x ₀ = , тогда при x > x ₀: | f (x) – 0 | < e, значит, = 0.

Пусть для некоторой функции y = f (x) f (x)= b, геометрически это означает, что точки графика y = f (x) приближаются к точкам прямой y = b (с той же абсциссой) при неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что прямая y = b является асимптотой графика y = f (x) при x ® +¥. Неравенство:
| f (x) – b | < e равносильно двойному неравенству: b – e < f (x) < b + e. Из определения предела следует, что по произвольному e > 0 найдется такое x ₀, что для всех x, больших x ₀, график y = f (x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми: y = b + e, y = b – e.