Способы задания функции

Аналитический способ: связь между аргументом x и функцией y задается формулой, при этом на разных участках области определения она может задаваться различными формулами (см. пример 2). В примерах 1, 2 функции заданы аналитически.

Табличный способ: функция задается таблицей отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Такими являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Графический способ: в этом случае соответствие между значениями x и y задается с помощью графика.

Среди числовых функций особое место занимают функции с областью определения A = N. Пусть аргумент функции f (x) принимает только значения 1, 2, 3,.... n,...

Обозначим f (1) = a ₁, f (2) = a ₂, ..., f (n) = a_n,... Такую функцию называют последовательностью, a ₁ – первый член,..., a_n – n -й член этой последовательности.

Рассмотрим свойства, которыми могут обладать (или не обладать) некоторые функции.

Функция f (x) называется возрастающей на множестве M (строго), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Символически это может быть записано так: " x ₁, x ₂Î M (x ₁ < x ₂ ® f (x ₁) < f (x ₂)).

Функция f (x) называется убывающей (строго) на множестве M, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Символически:
" x ₁, x ₂Î M (x ₁< x ₂ ® f (x ₁) > f (x ₂)).

Функция, убывающая или возрастающая на множестве M, называется монотонной на множестве M.

В качестве примера рассмотрим функцию y = x ². На интервале (–¥, 0) это убывающая функция, а на интервале (0, + ¥) – возрастающая.

Функция f (x) называется ограниченной сверху на множестве M, если существует такое число k, что для любого значения x Î Mf (x) < k.

Символически это может быть записано так: $ k " x Î M (f (x) < k).

Аналогично дается определение функции, ограниченной снизу.

Если функция ограничена и сверху, и снизу, то она называется ограниченной. Так, функция y = ограничена снизу на множестве A (пример 1), а функция из примера 2 ограничена сверху на множестве R.

Функция f (x) называется четной, если " x Î A (f (– x) = f (x)), и называется нечетной, если " x Î A (f (– x) = – f (x)).

Например, функция y = x ² является четной, а y = sin x – нечетной.

Функция f (x) называется периодической с периодом T (T ¹ 0), если
" x Î A (f (x + T) = f (x)).

Известно, что все тригонометрические функции являются периодическими.

Введем важные понятия сложной и обратной функции.

Если переменная y является функцией от x, y = f (x); а x – функция от переменной t: x = j (t), то y = f (j (t)) является функцией от t и называется сложной функцией или функцией от функции.

Например, пусть y = x ², x = sin t, тогда функция y = (sin t)² является сложной.

Пусть y = f (x) с областью определения A и множеством значений B такова, что для любого значения y Î B существует единственное значение x Î B, такое, что f (x) = y, тогда переменная x является функцией от y, обозначим x = j (y). Эту функцию называют обратной для y = f (x). Для обратной функции x = j (y) область определения B, а множество значений A. Иногда функцию, обратную к функции y = f (x), обозначают: .

Например, для функции y = x ² с областью определения [0, +¥) и таким же множеством значений обратной является функция: x = .

В дальнейшем часто будет использоваться понятие абсолютной величины числа, а также понятие e – окрестности точки.

Абсолютной величиной числа a называется неотрицательное число, обозначаемое | a |, такое, что

| a | = .

Неравенство | x | < m (m > 0) равносильно двойному неравенству – m < x < m, неравенство | x – x ₀| < e (e > 0) равносильно x ₀ – e < x< x ₀ + e. Множество точек с таким свойством (рис. 1.1) является интервалом (x ₀ – e, x ₀ + e) и называется e – окрестностью точки x ₀ (рис. 1.1).