![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функция a (х) называется бесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а
(х + ¥, х ® –¥, x ® x 0 – 0, х ® x 0 + 0), если
a (х) = 0.
Используя определение предела фикции при х ® +¥, можно перефразировать этог определение: функция a (х) называется бесконечно малой при х ® +¥, если для любого положительного числа e найдется такое число x 0 что для всех х, больших x 0, выполняется неравенство: | a (х)| < ε.
Символически это выглядит так: ε > 0
x 0
(|
(х)| < ε).
Аналогично формулируются определения б.м. при x ® +¥, х ® x 0, и т.д.
Пример 1. Функция a (х) = является б.м. при
и
(см. разд. 1.4, пример 3).
Пример 2. Покажем, что a (х)= б.м. при
.
Действительно, неравенство выполняется для всех х, которые удовлетворяют неравенству
, т.е.
Докажем некоторые теоремы о б.м. функциях.
Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых функций (при ) является б.м. функцией (при
).
Доказательство. Проведем доказательство для случая . Пусть
– б.м. при
, покажем, что функция
является б.м. при
, т.е.
. Зафиксируем произвольное положительное ε. Так как
– б.м. при
, то по числу
найдется
такое, что для всех
выполняется неравенство:
. (*)
Аналогично для по числу
найдется
, такое, что для всех
выполняется неравенство:
. (**)
Пусть x 0 – большее из чисел и
тогда для любого
выполняются оба неравенства (*), (**), поэтому
.
Учитывая, что , получаем:
, т.е.
– б.м. при
.
Пример 3. Функция является б.м. при
, так как каждое слагаемое
является б.м. при
(см. примеры 1, 2).
Для дальнейшего нам потребуется понятие ограниченности функции.
Функция f (x) называется ограниченной на некотором множестве М, если существует такое положительное число К, что для всех М выполняется неравенство:
.
Пример 4. Функция sin x и cos x ограничены на множестве R всех действительных чисел, так как и
.
Пример 5. Функция tg x не является ограниченной на интервале , так как она может принимать любые значения при
.
Будем говорить, что функция f (x) ограничена при (
), если она ограничена на некотором бесконечном интервале (
) (или (
)). Аналогично, функцию f (x)называют ограниченной при
(
), если она ограничена на некоторой окрестности (
) точки
(на правой полуокрестности (
) или на левой полуокрестности (
) соответственно).
Теорема 2. Если существует f (x), то функция f (x) ограничена при х
а.
Доказательство. Проведем доказательство для случая .
Пусть f (x) = b. Тогда на основании определения предела для ε = 1 найдется такое δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство: | f (х) – b | < 1. Так как по свойству абсолютных величин
| f (х) – b |, то
, откуда | f (х) | < | b | + 1.
Это и означает, что f (х) ограничена на интервале () (в качестве К взято число | b | + 1).
Следствие 1. Любая б.м. функция при является ограниченной при
.
Теорема 3. Если существует и он отличен от нуля, то
ограничена при
.
Доказательство. Пусть f (x) = b
0. Зафиксируем положительное число ε, такое, что ε <
. На основании определения предела при
:
.
Так как
, то
и
.
Следовательно, . Здесь К =
. Теорема доказана.
Теорема 4. Произведение б.м. функции (при х а) на функцию, ограниченную (при х
а)является функцией б.м. (при х
а).
Доказательство. Пусть функция (х) – б.м. при
, и пусть f (х) – ограничена при
, т.е. найдутся числа К > 0 и x 1, такие, что для любого х > х 1 выполняется неравенство:
. (!)
Зафиксируем произвольное ε > 0 и покажем, что найдется x 0, такое, что .
По определению б.м. при , для числа
найдется такое x 2, что для всех
х > х 2, выполняется неравенство:
. (!!)
Пусть – наибольшее из чисел х 1, х 2. Тогда для х > x 0 одновременно выполняются неравенства (!), (!!), поэтому
,
т.е. f (х) (х) –б.м. при
. Теорема доказана.
Следствие 2. Произведение функции б.м. при на число является функцией б.м. при
.
Следствие 3. Произведение двух б.м. функций есть функция б.м. (при ).
Замечание. Если 1(х),
2(х) – б.м. при
, то
может быть б.м. при
, а может и не быть. Так, для функций
1(х) =
и
2(х) =
, б.м. при
, функция
не является б.м. при
, а функция
является б.м. при
.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 383 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!