Предел функции в точке

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x ₀ (возможно, определена на R), но в самой точке x ₀ функция f (x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x ₀ (x ® x ₀), если значения f (x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x ₀ достаточно близко. Обозначение: f (x) = b.

Пример 1. Функция y = определена во всех точках числовой оси, за исключением x ₀ = 2. Найдем f (x), для этого вычислим значения f (x) для x, близких к 2, и построим график: y = f (x). Заметим, что для x ¹ 2: = 2 x.

x	1,6	1,7	1,8	1,9	2,1	2,2	2,3	2,4
y	3,2	3,4	3,6	3,8	4,2	4,4	4,6	4,8

График функции: y = совпадает с прямой: y = 2 x для всех x ¹ 2
(рис. 1.6). Из таблицы и графика видим, что значения f (x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.

Покажем, что = 4. Для этого убедимся, что | f (x) – 4 | может стать настолько малым, насколько пожелаем: | f (x) – 4| = | – 4 | = | 2 x – 4 |, так как x ¹ 2.

Потребуем, чтобы | f (x) – 4| < , тогда из неравенства: |2 x – 4| < получаем | x – 2| < . Т.е. при значениях x, удовлетворяющих неравенству: 2 – < x < 2 + , выполняется неравенство | f (x) – 4| < .

Аналогично можно показать, что | f (x) – 4| < , если 2 – < x < 2 + и, вообще, для любого (малого) положительного числа e: | f (x) – 4| < e, если 2 – < x < 2 + (или, что то же самое, | x – 2 | < ). Обозначим = d. Итак, = 4.

Дадим строгое определение предела функции в точке.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x ₀ (при стремлении x к x ₀), если для любого положительного числа e найдется положительное число d, такое, что для любого x ¹ x ₀ и удовлетворяющему неравенству: x ₀ – d < x < x ₀ + d, выполняется неравенство: | f (x) – b | < e.

Символически f (x) = b означает:

" e > 0 $ d > 0 " x ¹ x ₀ (x ₀ – d < x < x ₀ + d ® | f (x) – b | < e). (*)

Заметим, что условие:

«x ¹ x ₀ и x ₀ – d < x < x ₀ + d»

можно записать в виде неравенства: 0 < | x – x ₀ | < d, и тогда формула (*) примет вид:

" e > 0 $ d > 0 " x (0 < | x – x ₀ | < d ® | f (x) – b | < e).

Если f (x) = b, то на графике функции y = f (x) (рис. 1.7) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x ₀ не далее, чем на d, значения f (x) отличаются от b не более чем на e.

Пример 2. Показать, что x = x ₀.

В самом деле f (x) = x, поэтому для любого e > 0: | f (x) – x ₀ | < e при условии | x – x ₀ | < e (здесь d = e).