Логические символы:

1. Отрицание применяется к одному высказыванию или предикату, соответствует частице «не» и обозначается .

Например, формула есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).

2. Конъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается: А & B (или A B).

Так формула (–3 > 0) & (2 2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2 2 = 4», которое, очевидно, ложно.

3. Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается A B.

Предложение: «число x принадлежит множеству или множеству » изображается формулой: .

4. Импликация соответствует союзу «если..., то...» и обозначается: A B.

Так, запись «a > –1 a > 0» есть сокращение для предложения «если a > –1, то a > 0».

5. Эквиваленция A B соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B».

Символы называются кванторами общности и существования, соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор читается: «существует», «найдется» и др.

6. Квантор общности применяется к предикату F (x,...), содержащему одну переменную (например, x) или несколько переменных, при этом получается формула xF (x,...), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F (x,...)»или «все x обладают свойством F (x,...)».

Например: x (x > 0) есть сокращение для фразы: «любое x больше 0», которая является ложным высказыванием. Предложение: a (a > 0 a > –1) является истинным высказыванием.

7. Квантор существования, примененный к предикату F (x,...) соответствует предложению «существует x, такой, что F (x,...)» («найдется x, для которого F (x,...)») и обозначается: xF (x,...).

Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается формулой x (x R & x ² = 2). Здесь квантор существования применен к предикату: F (x) = (x R & x ² = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R).

Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F (x, y) содержит две переменные, то в предикате xF (x, y) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x). К предикату xF (x, y) можно применить квантор общности или существования по переменной y, тогда полученная формула xF (x, y)или xF (x, y) является высказыванием.

Так, предикат «| sin x| < a» содержит две переменные x, a. Предикат x (|sinx| < a) зависит от одной переменной a, при этот предикат обращается в ложное высказывание (|sinx| < ), при а = 2 получаем истинное высказывание x (|sinx| < 2).

Если к предикату x (|sinx| < a)применить квантор существования, то получим формулу: , выражающую истинное высказывание: «функция sin x является ограниченной».

Для некоторых формул введем сокращенную запись.

Так, вместо формулы x (x R & x ² = 2) будем писать: x R (x ² = 2),

вместо x (x > 0 & x ² + 3 = 4) пишем: x > 0(x ² + 3 = 4).

Формулу x (x R x ² 0) сократим так: x R (x ² 0) и т.д.

Будем называть и т.д. ограниченными кванторами.

Несколько кванторов общности (существования) заменяем на один: вместо пишем x,y (P (x,y)), вместо будем писать .