Задание 49. Решение дифференциальных уравнений второго порядка – 1 ч

Цель: формирование умений решать дифференциальные уравнения второго порядка: простейшие, линейные однородные с постоянными коэффициентами.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 49.1.Какие дифференциальные уравнения называют простейшими второго порядка? Какова техника их решения?

?49.2. Решите простейшие дифференциальные уравнения второго порядка:

а) ; б) .

?49.3. Найдите частное решение простейших дифференциальных уравнений второго порядка:

а) ; б) .

& 49.4.Какие дифференциальные уравнения называют линейными однородными (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами? Какова техника их решения?

?49.5. Решите ЛОДУ II порядка с постоянными коэффициентами:

а) ; б) ; в) .

¶ 49.6. Решите дифференциальные уравнения второго порядка:

а) ; б) ; в) , .

Методические указания по выполнению работы:

Выделяют следующие виды дифференциальных уравнений второго порядка:

1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка - уравнения вида: .

Метод решения: двукратное интегрирование по переменной х.

Пример 1. Найдите решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение второго порядка, найдем сначала по формуле: .

или , где С ₁ – константа.

Для нахождения искомой функции у найдем интеграл от по переменной х:

или , где С ₁ и С ₂ – константы.

Полученная функция является общим решением дифференциального уравнения . Ответ: .

Обратите внимание, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные С ₁ и С ₂.

Для нахождения решения задачи Коши можно использовать следующий алгоритм:

1. Найдите по формуле: .
2. Воспользовавшись первым начальным условием (), найдите значение константы С ₁ и подставьте его в функцию .
3. Найдите функцию у, взяв интеграл от по переменной х.
4. Воспользовавшись вторым начальным условием (), найдите значение константы С ₂ и подставьте его в функцию . Полученная функция будет являться частным решением исходного дифференциального уравнения.

Пример 2. Найдите решение задачи Коши: , если при и .

Решение. 1. Найдем .

2. Воспользуемся первым начальным условием: при . Подставим эти числа в функцию : . Поскольку , получим, что .

Подставим найденное значение С ₁ в функцию : или .

3. Найдем функцию у: или .

4. Воспользуемся вторым начальным условием: при . Подставим эти числа в функцию : . Поскольку , получим: или .

Найденное значение константы С ₂ подставим в функцию : . Полученная функция является частным решением исходного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

Ответ: .

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - уравнение вида , где p и q – постоянные величины.

Для нахождения решения дифференциальных уравнений такого вида будем составлять характеристическое уравнение: , где k – некоторая новая переменная. Характеристическое уравнение является квадратным относительно k.

В зависимости от числа и вида корней данного характеристического уравнения, решение исходного дифференциального уравнения можно представить в виде таблицы 49.1:

Таблица 49.1