Зокрема, якщо всі n подій мають однакову ймовірність, рівну р, то ймовірність появи хоча б однієї з цих подій

Р(A) = 1–q₁q₂q₃…q_n.

Приклад 5. В електричне коло послідовно включені три елементи, які працюють незалежно один від іншого. Ймовірності відмов першого, другого і третього елементів відповідно рівні: р₁, = 0,1; р₂, = 0,15; р₃, = 0,2.

Знайти ймовірність того, що струму в ланцюзі не буде.

Розв’язок. Елементи включені послідовно, тому струму в ланцюзі не буде (подія А), якщо відмовить хоча б один з елементів.

Шукана ймовірність дорівнює:

Р (А) = 1–q₁q₂q₃= 1– (1-0,1)(1-0,15)(1-0,2)= 0,388.

Приклад 6. У урну, яка містить дві кулі, опущений біла куля, після чого з неї навмання витягнутий одна куля.

Знайти ймовірність того, що витягнутий куля виявиться білим, якщо рівноможливі всі можливі припущення про первинному складі куль (за кольором).

Розв’язок. Позначимо через А подію – витягнута біла куля.

Можливі наступні припущення (гіпотези) про початковий склад куль:

B₁ – білих куль немає,

В₂ – одна біла куля,

В₃ – дві білих кулі.

Оскільки всього є три гіпотези, причому за умовою вони рівноймовірні, і сума ймовірностей гіпотез дорівнює одиниці (оскільки вони утворюють повну групу подій), то ймовірність кожної з гіпотез дорівнює 1/3, тобто

Р (B₁) = P (В₂) = Р (В₃) == 1/3.

Умовна ймовірність того, що буде витягнута біла куля, при умові, що спочатку в урні не було білих куль, Р_В1 (А) = 1/3.

Умовна ймовірність того, що буде витягнута біла куля, при умові, що спочатку в урні була одна біла куля Р_В2 (А) = 2/3.

Умовна ймовірність того, що буде витягнута біла куля, при умові, що спочатку в урні було дві білих кулі Р_ВЗ (А) = 3/3 = 1.

Шукану ймовірність того, що буде витягнута біла куля, знаходимо за формулою повної ймовірності:

Р(А)=Р(В₁)Р_в1(А)+Р(В₂)Р_В2(А)+Р(В₃)Р_В3(А) =1/3*1/3+1/3*2/3+1/3*1=2/3.

Приклад 7. Два автомати виробляють однакові деталі, які надходять на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більше продуктивності другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий-84%. Навмання взята з конвеєра деталь виявилася відмінного якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.

Розв’язок. Позначимо через А подію – деталь відмінної якості. Можна зробити два припущення (гіпотези): B₁ – деталь проведена першим автоматом, причому (оскільки перший автомат виробляє вдвічі більше деталей, ніж другий) P (В₁) = 2/3; B₂ – деталь зроблена другим автоматом, причому Р (В2) = 1/3.

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена першим автоматом, Р_В1(А) = 0,6.

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена другим автоматом, Р_В2(А) = 0,84.

Ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться відмінної якості, за формулою повної ймовірності дорівнює:

Р (А) = Р (В₁) Р_В1(А) + Р (В₂) Р_В2(А) = 2/3 *0,6 +1 / 3* 0,84 = 0,68.

Шукана ймовірність того, що взята відмінна деталь вироблена першим автоматом, за формулою Бейєса дорівнює

Р(А)_В1=