Теоретична частина. Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі сталими ймовірностями p і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі

Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі сталими ймовірностями p і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імо­вірністю p відбувається, а з імовірністю q – не відбувається, тобто p + q = 1.

Простір елементарних подій для одного експерименту містить дві елементарні події, а для n експериментів за схемою Бернуллі –2ⁿ елементарних подій.

Якщо відбуваються випробування, при яких імовірність появи події А в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними відносно події А.

Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р (0<р<I), подія наступить рівно k раз (байдуже, в якій послідовності), дорівнює

або

Ймовірність того, що в n випробуваннях подія настане:

а) менше k разів;

б) більш k разів;

в) не менше k разів;

г) не більше k разів, – знаходять відповідно за формулами:

а)

б)

в)

г)

Приклад 1. Два рівносильних шахіста грають у шахи. Що імовірніше: виграти дві партії з чотирьох або три партії з шести (нічиї до уваги не приймаються)?

Розв’язок. Грають рівносильні шахісти, тому ймовірність виграшу р = 1/2; отже, ймовірність програшу q так само дорівнює ½. Так як у всіх партіях ймовірність виграшу постійна і байдуже, в якій послідовності будуть виграні партії, то застосовують формулу Бернуллі.

Знайдемо ймовірність того, що дві партії з чотирьох будуть виграні:

Знайдемо ймовірність того, що будуть виграні три партії з шести:

Так як, то найімовірніше виграти дві партії з чотирьох, ніж три з шести.

Приклад 2. Монету кидають п'ять разів. Знайти ймовірність того, що «герб» випаде: а) більше двох разів, б) не більше трьох разів.

Розв’язок. Ймовірність того, що випаде герб при киданні монети становить ½.

а) Знайдемо ймовірність, що герб з’явиться більше двох разів при п’яти киданні монети, застосовуючи формулу Бернуллі

P_n(k+1)+P_n(k+2)+…+P_n(n)=Р₅(3)+Р₅(4)+Р₅(5)=

б) Знайдемо ймовірність, що герб з’явиться не більш трьох разів при п’яти киданні монети, застосовуючи формулу Бернуллі отримаємо:

P_n(0)+P_n(1)+…+P_n(n)= Р₅(0)+Р₅(1)+Р₅(2)+ Р₅(3)+Р₅(4)+Р₅(5)=

=

Приклад 3. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих основних елементів. Пристрій відмовляє, якщо відмовить хоча б один елемент. Імовірність відмови кожного елемента за час t дорівнює 0,1. Знайти ймовірність безвідмовної роботи пристрою за час t, якщо:

а) працюють тільки основні елементи,

б) включений один резервний елемент;

в) включені два резервних елемента.

Передбачається, що резервні елементи працюють в тому ж режимі, що й основні, ймовірність відмови кожного резервного елемента так само дорівнює 0,1 і пристрій відмовляє, якщо працює менше трьох елементів.

Розв’язок. a) За даними умови працюють тільки три елемента з трьох, використовуючи формулу Бернуллі, отримаємо:

Р₃(3)=

б) Додатково включено четвертий резервний елемент, причому ймовірність його відмови така сама, як і у основних елементів, але повинно працювати не менш трьох елементів, тому маємо:

в) Додатково до трьох елементів було включено ще два резервних, тобто загалом працює п’ять елементів, але повинно працювати не менш трьох елементів за умовою задачі, тому маємо: