Теоретична частина. Ймовірністю події А називають відношення числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх рівно можливих несумісних елементарних результатів

Ймовірністю події А називають відношення числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх рівно можливих несумісних елементарних результатів, що утворюють повну групу. Отже, ймовірність події А визначається формулою:

Р(А)=

де m – число елементарних результатів, що сприяють А; п – число вcіx можливих елементарних результатів випробування.

Властивість 1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Дійсно, якщо подія достовірна, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. У цьому випадку т = п,

Р{А) = т/п = п/п= 1.

Властивість 2. Ймовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Дійсно, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприяє події. У цьому випадку m = 0, отже

Р(А) = m/n = 0/n = 0.

Властивість 3. Ймовірність випадкової події є позитивне число, яке знаходиться між нулем і одиницею.

Дійсно, випадковій події сприяє лише частина із загальної кількості елементарних результатів випробування. У цьому випадку 0<m<n, значить, 0<m/n<1, отже,

0<Р(A)< 1

Ймовірність будь-якої події задовольняє подвійної нерівності

0 £ Р(A) £ 1

Класичне означення ймовірності придатне лише для експериментів з обмеженим числом рівномірних елементарних подій, тобто коли множина Ώ (простір елементарних подій) обмежена.

Якщо множина Ώ є неперервною і квадровною, то для обчислення ймовірності А (А Ì Ώ) використовується геометрична ймовірність

Якщо множина Ώ вимірюється в лінійних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню довжини, якщо Ώ вимірюється у квадратних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню площ, і т. ін.

Нехай відрізок l становить частину відрізка L. На відрізок L навмання поставлена точка. Це означає виконання наступних припущень: поставлена ​​точка може опинитися в будь-якій точці відрізка L, вірогідність попадання точки на відрізок l пропорційна довжині цього відрізка і не залежить від його розташування відносно відрізка L. У цих припущеннях ймовірність попадання точки на відрізок l визначається рівністю

Р = Довжина l/Довжина L

Приклад 1. Кинуті два гральні кубики. Знайти ймовірність того, що сума очок на випавших гранях – парна, причому на межі хоча б одного з кубиків з'явиться шістка.

Розв’язок. На грані, що випала, першого грального кубика, може з'явитися одне очко, два очка,..., шість очок. Аналогічні шість елементарних результатів можливі при киданні другого кубика. Кожний з результатів кидання першого кубика може поєднуватися з кожним з результатів кидання другого. Таким чином, загальне число можливих елементарних результатів випробування дорівнює 6 * 6 = 36.

Ці результати утворюють повну групу і в силу симетрії кубиків рівноможливі.

Сприятливою цікавою для нас подією (хоча б на одній грані з'явиться шістка, сума випавших очок – парна) є наступні п'ять результатів (першим записано число очок, що випали на першому кубику, другим – число очок, що випали на другому кубику; далі знайдена сума очок):

1) 6, 2; 6+2 = 8,

2) 6, 4; 6 + 4= 10

3) 6, 6; 6+6=12,

4) 2, 6; 2 + 6=8

5) 4, 6; 4+6=10.

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа результатів, що сприяють події, до числа всіх можливих елементарних результатів:

Р = 5/36

Приклад 2. Задано множину цілих чисел Ω = {1, 2, …, 30}. Навмання з цієї множини беруть одне число. Яка ймовірність того, що воно виявиться кратним 5 або 7?

Розв’язання. Простір Ω містить n = 30 елементарних подій.

Позначимо через А подію, що полягає в появі числа, кратного 5, а через В у появі числа, кратного 7. Тоді дістанемо:

;

;

Ø

Маємо:

.

Приклад 3. У ящику міститься 13 однакових деталей, серед яких 5 є бракованими, а решта – стандартними. Навмання з ящика беруть чотири деталі. Яка ймовірність того, що всі чотири деталі виявляться стандартними або бракованими?

Розв’язок. Множина Ω містить

способами можна дістати 4 деталі з 13.

Позначимо через А появу чотирьох стандартних деталей. Кількість елементарних подій, що сприяють появі А, тобто з 13 деталей, якщо 5 бракованих, то стандартних залишається всього 8, а з восьми стандартних деталей дістати 4 стандартних деталей можна:

способами.

Позначимо через В появу чотирьох бракованих деталей. Кількість елементарних подій, що сприяють появі В, тобто з п’яти бракованих деталей чотири можна дістати

способами.

Події є несумісними, тоді отримаємо:

.

Приклад 4. На складі є 15 кінескопів, причому 10 з них виготовлені Львівським заводом. Знайти ймовірність того, що серед п'яти взятих навмання кінескопів виявляться три кінескопа Львівського заводу.

Розв’язок. Загальна кількість можливих результатів, тобто, що серед 15 кінескопів взяли навмання 5 дорівнюється С⁵₁₅. Числом результатів сприятливих нашої події (з 5 навмання взятих кінескопів будуть 3 Львівських), тобто 3 кінескопа з 10 львівських можна взяти С³₁₀ способами, при цьому інші 2 кінескопа з п’яти не львівські можна взяти С²₅ способами. Отже сприятливих результатів С³₁₀ * С²₅. шукана ймовірність

Р = (С³₁₀ * С²₅) / С⁵₁₅

Приклад 5. На відрізку ОА довжини L числової осі Ох навмання поставлені дві точки: В(х) і С(у). Знайти ймовірність того, що з трьох одержаних відрізків можна побудувати трикутник.

Розв’язок. Для того щоб з трьох відрізків можна було побудувати трикутник, кожний з відрізків повинен бути менше суми двох інших.

Сума всіх трьох відрізків дорівнює L, тому кожен з відрізків повинен бути менше L/2. Введемо в розгляд прямокутну систему координат хОу. Координати будь-яких двох Введемо в розгляд прямокутну систему координат xOy. Координати будь-яких двох точок В і С повинні задовольняти подвійним нерівностям:

0 <= x <= L; 0 <= y <= L. Цим нерівностям задовольняють координати будь-якої точки M (x; у), що належить квадрату OLDL (рис. а). Таким чином, цей квадрат можна розглядати як фігуру G, координати точок якої представляють всі можливі значення координат точок В і С.

1. Нехай точка С розташована правіше точки В (рис. б). Як зазначено вище, довжини відрізків ОВ, ВС, СА повинні бути менше L/2, тобто повинні мати місце нерівності

х <L/2, у-х <L/2, L-у <L/2, або, що те ж,

x <L/2, у <x + L/2, у> L/2. (1)

2. Нехай точка С розташована лівіше точки В (рис. в). У цьому випадку повинні мати місце нерівності

у <L/2, х-у <L/2, L- х <L/2, або, що те ж,

у <L/2, у> x-L/2, x> L/2. (2)

Як видно з рисунку а, нерівності (1) виконуються для координат точок трикутника EFH, а нерівності (2) – для точок трикутника КHМ. Таким чином, заштриховані трикутники можна розглядати як фігуру g, координати точок якої сприяють нашої події (з трьох відрізків можна побудувати трикутник).

Тоді шукана ймовірність дорівнюється

Р=Пл. g / Пл. G = (Пл. ∆ EFH+ Пл. ∆ KHM) / Пл. OLDL= 1/4.