Теоретична частина. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якого, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільної появи:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Умовною ймовірністю Р_А(В) називають ймовірність події В, обчислену в припущенні, що подія А вже настала.

Теорема множення ймовірностей. Ймовірність сумісної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні, що перша подія вже настала:

Р (АВ)= Р(А)*Р_А (В)

Для незалежних подій теорема має вигляд:

Р(АВ) = Р(А)Р(В)

Сума ймовірностей подій А₁, А₂,... А_n, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А _n)=1

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

Р(А)+Р()=1

Ймовірність появи хоча би однієї події. Імовірність появи хоча б однієї з подій А1, А2,... Аn незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком, ймовірностей протилежних подій А₁,А₂,…А_n

Р(А)=1–q₁q₂… q_n

Приватний випадок. Якщо А₁, А₂,... А_n мають однакову ймовірність, рівну р, то ймовірність появи хоча б однієї з цих поді

Р (А) = 1 – qⁿ.

Формула повної ймовірності. Ймовірність події А, яка може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій B₁, B₂,..., В_n, що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутку ймовірностей кожного з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:

Р (А) = Р (В₁) P_Bl (А) + Р (В₂) P_B2 (A) +...... + Р(В_n)Р_Вn(А)

Формула Бейєса:

Приклад 1. На стелажі бібліотеки в випадковому порядку розставлено 15 підручників, причому п'ять з них у палітурці. Бібліотекар бере навмання три підручника. Знайти ймовірність того, що хоча б один з взятих підручників опиниться в палітурці (подія А).

Розв’язок. Перший спосіб. Вимога – хоча б один з трьох узятих підручників у палітурці – буде здійснено, якщо відбудеться будь-яке з наступних трьох несумісних подій: В – один підручник в палітурці, С – два підручника в палітурці, D – три підручника в палітурці.

Подія А, яка нас цікавить можна представити у вигляді суми подій:

А = B + C + D

За теоремою додавання:

Р (А)=Р (В)+Р(С)+Р(D)

Знайдемо ймовірності подій В, С и D:

Загальну кількість підручників, що можна взяти з 15 можна C₁₅³ способами. Подія В це, коли один підручник в палітурці з 5 за умовою, можна взяти С₅¹ способами, залишається з трьох взятих два підручника, не відомо яких з 10 без палітурці можна взяти С₁₀² способами, тоді ймовірність події В дорівнює відношенню добутку:

Р (В)=С₅¹*С₁₀²/C₁₅³ = 45/91,

Подія С – два підручника в палітурці, тоді взяти два підручника в палітурці з 5 можна С₅² способами, тоді один підручник, що залишився може бути без палітурці з 10, то його можна взяти С₁₀¹ способами. Тоді шукана ймовірність дорівнює:

Р (С) = С₅²*С₁₀¹/C₁₅³ = 20/91,

Відповідно ймовірність події D дорівнюється:

P(D) = C₅³/C₁₅³ = 2/91,

Підставимо дані у формулу теореми додавання та отримаємо шукану ймовірність:

Р (А) = 45/91+20/91+2/9 1 ==67/91.

Другий спосіб. Події А (хоча б один з взятих трьох підручників має обкладинку) і (жоден з узятих підручників не має палітурки) – протилежні, тому Р (А) + Р () = 1 (сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює одиниці).

Звідси Р (А) = 1 - Р ().

Ймовірність появи події А (жоден з узятих підручників не має палітурки)

Р(А)=С₁₀³/С₁₅³=24/91

.

Шукана ймовірність

Р(А)=1-24/91=67/91.

Приклад 2. Ймовірності появи кожного з двох незалежних подій A₁ і А₂ відповідно рівні р₁, і р₂. Знайти ймовірність появи тільки одного з цих подій.

Розв’язок. Введемо позначення подій:

B₁ – з'явилося тільки подія A₁;

В₂ – з'явилося тільки подія ₂.

Поява події B₁ рівносильне появі події A_{1 2}. (з'явилося перша подія і не з'явилося друга), тобто:

В₁= А_{1 2}.

Поява події В₂ рівносильне появі події А_{1 2} (з'явилося друга подія і не з'явилося перша), тобто

В₂=А_{1 2}.

Таким чином. щоб знайти ймовірність появи тільки однієї з подій А₁ і ₂ досить знайти ймовірність появи одного, байдуже якого, з подій В₁ і В₂. Події B₁ і В₂ несумісні, тому слід застосувати теорему додавання:

Р(В₁+В₂)=Р(В₁)+Р(В₂)

Залишається знайти ймовірність кожної з подій B₁ і B₂. Події A₁ и ₂ незалежні, отже, незалежні й події A₁ и ₂, тому застосовують теорему множення:

Р (В₁) = Р(А_{1 2})=Р(А₁)*Р( ₂)=p₁*q₂,

Р (B₂)=Р(А_{1 2})=Р(A₁)Р( ₂)=p₂*q₁

Підставив ці ймовірності у відношення знайдемо шукану ймовірність появи тільки однієї з подій А₁ и ₂:

P(В₁+В₂) = p₁*q₂+ p₂*q₁.

Приклад 3. Ймовірність одного влучення в ціль при одному пострілі з двох знарядь дорівнює 0,38. Знайти ймовірність ураження цілі при одному пострілі першим із знарядь, якщо відомо, що для другої гармати ця ймовірність дорівнює 0,8.

Розв’язок. Нехай В₁ подія пострілу в ціль першого знаряддя, тоді ймовірність його попадання в ціль Р(В₁), В₂ подія попадання в ціль другого знаряддя, тоді його ймовірність попадання в ціль Р(В₂). В даній задачі відомо, що ймовірність одного влучення в ціль при одному пострілі з двох знарядь, тобто Р(В₁+В₂)=0,38.

Ймовірність попадання в ціль другим знаряддям – р₂=0,8; q₂=0,2 (друге знаряддя не попало в ціль)

Тоді ймовірність попадання в ціль першим знаряддям і не влученням другого дорівнюється:

Р(В₁)=р₁q₂

Ймовірність влучення другим знаряддям в ціль і не влучення першим дорівнюється:

Р(В₂)=p₂q₁

Підставимо в відношення:

Р(В₁+В₂)=р₁q₂+p₂q₁

Та складемо рівняння,з якого й знайдемо ймовірність влучення в ціль першим знаряддям.

0,38=0,2р₁+0,8(1-р₁)

0,38-0,8=0,2р₁-0,8р₁

0,6р₁=0,42

р₁=0,7

Приклад 4. У читальному залі є шість підручників з теорії ймовірностей, з яких три в палітурці. Бібліотекар навмання взяв два підручника. Знайти ймовірність того, що обидва підручники опиняться в палітурці.

Розв’язок. Введемо позначення подій: А – перший взятий підручник має палітурку, В – другий підручник має палітурку. Ймовірність того, що перший підручник має палітурку:

Р (А) = 3/6 = 1/2.

Ймовірність того що другий підручник має палітурку, за умови, що перший взятий підручник був у палітурці, тобто умовна ймовірність події В, така:

Р_А (В) = 2/5.

Шукана ймовірність того, що обидва підручники мають палітурку, за теоремою множення ймовірностей подій дорівнює:

Р (АВ)=Р (А) Р_А(В) = ½*2/5 = 0,2.