Классификация точек разрыва

Точка функции называется точкой разрыва I рода, если существуют конечные односторонние пределы и .

Точка разрыва I рода называется устранимой, если .

Если односторонние пределы конечны, но не совпадают, то - неустранимая точка разрыва.

Точка функции называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

Примеры.

1. . y

; 1

. x

- точка разрыва

I рода устранимая.

y

2. . 1

0 x

;

- точка разрыва I рода неустранимая.

3. y

.

; 0

- точка разрыва II рода.

4. Исследовать на непрерывность функцию

y= .

Естественно, что на интервалах (-∞;-2), (-2;0) и (0;+∞) функция непрерывна. Проверке подлежат только точки х = -2 и х = 0.

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.

Рассмотрим точку х = -2.

.

Вычислим односторонние пределы:

.

Так как односторонние пределы не совпадают, х = -2 - точка разрыва функции I рода неустранимая.

Рассмотрим точку х = 0.

x = 0 - точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.

5. Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.

.

Решение. Область определения функции

Точка разрыва х = -10.

Найдем односторонние пределы:

Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель (2х + 5) -15, но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рисунке.