Лекция 63 Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х

Теорема 1. Область сходимости степенного ряда есть некоторый промежуток (- R, R), симметричный относительно точки х= 0. Иногда в него надо вклю­чить оба конца, иногда только один, а иногда надо оба конца исключить.

Промежуток (- R, R)называется промежутком сходимости, положительное число R — радиусом схо­димости степенного ряда. Внутри этого промежутка ряд сходится, вне его расходится. Необходимо, также, исследовать сходимость ряда на концах интервала.

Если степенной ряд сходит­ся только в точке х= 0, то R =0. Если ряд сходится во всех точках, то говорят, что радиус сходимости равен бесконечности (R=¥).

Теорема 2. Радиус сходимости R степенного ряда равен пределу отношения при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует:

Лекция 64 Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а