Лекция 62 Степенной ряд

Сте­ленным рядом называется ряд вида (1): а_о+а₁х+а₂х²+...+а_пх^п+...,

а также ряд более общего вида (2): а_о+а₁ (х-х₀) +а₂х² (х-х₀) ²+...+а_пх^п (х-х₀) ⁿ+...,

говорят, что он расположен соответственно по степеням х, о или по степеням х - х₀.

Постоянные а₀, a₁,..., а_п,... называются коэффи­циентами степенного ряда.

Если обозначить х-х₀ через z, то ряд (2) окажется расположенным по степеням z, т. е. примет вид (1). Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, сте­пенным рядом именуется ряд вида (1). Степенной ряд всегда сходится при х =0. Относительно сходимости его в других точках могут представиться три случая

· степенной ряд может расхо­дится во всех точках, кроме х =0, например,

1¹х¹+2²х²+3³х³+…+ п^пх^п+...,

у которого общий член п^пх^п = (пх)^п неограниченно уве­личивается по абсолютному значению, начиная с мо­мента, когда пх становится больше единицы.

· степенной ряд может сходиться во всех точках, например,

сумма которого при всяком значении х равна е^х.

· степенной ряд может сходиться в од­них точках и расходится в других.