Математическое ожидание случайных величин

Математическое ожидание случайной величины характеризует ее среднее значение. Все значения случайной величины группируются вокруг этого значения. Рассмотрим сначала случайную дискретную величину . В результате опытов она приняла значения со своими вероятностями . Причем каждое ее значение появилось раз. Среднее арифметическое значение по всем наблюдениям равно

(1.15.2)

Здесь – частота появления значения . При , величина стремится к некоторому значению

(1.15.3)

Эта величина называется математическим ожиданием случайной величины или центром ее рассеяния. Иногда математическое ожидание обозначают – .

Рассмотрим теперь случайную непрерывную величину , появляющуюся в результате опыта на некотором отрезке. Разобьем этот отрезок системой точек . В результате образуется система отрезков , длина каждого такого отрезка равна . Внутри каждого такого отрезка выберем произвольным образом точку , тогда вероятность попадания на этот отрезок приближенно равна , а математическое ожидание построенной таким образом случайной дискретной величины выразится формулой

(1.15.4)

Правая часть формулы (13.3) есть ни что иное, как интегральная сумма и при мы получим

(1.15.5)

Формула (1.15.5) и есть формула для математического ожидания случайной непрерывной величины.