Знаходження переміщення однієї з частин системи за переміщеннями інших її частин

У випадках, коли має місце закон збереження руху центру мас, теорема дозволяє за переміщенням однієї частини системи знайти переміщення іншої її частини.

Отже, нехай в механічній системі 0 і в початковий момент часу v_Cx = 0, тоді згідно доведеного x_C = const. Приймемо, що система складається з трьох тіл масами m ₁, m ₂ і m ₃, координати центрів мас яких в початковий момент часу складають x ₁, x ₂ і x ₃.

Якщо під дією внутрішніх або зовнішніх сил тіла системи здійснять абсолютні переміщення, проекції яких на вісь Ox будуть ξ ₁, ξ ₂ і ξ ₃, то нові координати центрів мас складатимуть x ₁ + ξ ₁, x ₂ + ξ ₂ і x ₃ + ξ ₃.

Координати центру мас системи в початковому і конечному положеннях визначаться формулами:

Mx _{0 C} = m ₁ x ₁ + m ₂ x ₂ + m ₃ x _3;

Mx _{1 С} = m ₁ (x ₁ + ξ ₁) + m ₂(x ₂ + ξ ₂) + m ₃ (x ₃ + ξ ₃).

Оскільки x_C = const, то Mx _{0 С} = Mx _{1 С} . Прирівнявши наведені рівності, одержимо

m ₁ ξ ₁ + m ₂ ξ ₂ + m ₃ ξ ₃ = 0.

Отже, коли має місце закон збереження руху центру мас відносно якоїсь з координатних осей, то алгебраїчна сума добутків мас тіл системи на відповідні проекції абсолютних переміщень їх центрів мас повинна дорівнювати нулю, якщо в початковий момент проекція швидкості на дану вісь дорівнює нулю.

Розглянемо приклад застосування теореми про рух центру мас для розв’язування задач.

По горизонтальній товарній платформі масою М і довжиною l, яка в початковий момент часу знаходилася у спокої, робітник перекочує важку болванку з лівого кінця платформи в правий. В який бік і наскільки переміститься при цьому платформа, якщо маса вантажу і робітника дорівнює m?

Переміщення платформи відбуватиметься під дією муску­льних зусиль робітника та сили тертя підошов. Оскільки ці сили невідомі, то будемо розглядати платформу, вантаж і ро­бітника як єдину механі­чну систему, тоді вказані сили будуть внутрішніми.

Зовнішніми силами, які діють у системі, є сили ваги і реакція (рис. 6.1). Всі сили вертикальні, тоді , і, відповідно, x_C = const, оскільки v_Cx = 0.

В загальному випадку на­прямок переміщення платфо­рми невідомий, тому припус­тимо, що плат­форма переміс­тилась вправо (в додатному напрямку осі х) на величину ξ₁.

Тоді

Мξ₁ + mξ₂ = 0,

де ξ₂ = ξ₁ + l – абсолютне переміщення робіт­ника і вантажу.

Підставивши величину ξ₂ в рівняння і розв’язавши відносно ξ₁, одержимо

.

Знак “мінус ” у розв’язку показує, що платформа перемістилася вліво.