Теорема про зміну кількості руху механічної системи

Розглянемо систему, яка складається з n матеріальних точок. Знову звернемось до рівнянь руху системи (лекція 12) і складемо почленно їх ліві та праві частини. Тоді одержимо

.

Остання сума за властивістю внутрішніх сил дорівнює нулю. Крім того,

.

Остаточно знаходимо

.

Одержане рівняння визначає теорему про зміну кіль­кості руху системи в диференціальній формі: похі­дна по часу від кількості руху системи дорівнює геометрич­ній сумі всіх зовнішніх сил, які діють на систему.

В проекціях на координатні осі рівняння мають вигляд:

, , .

Знайдемо вираз теореми в інтегральній формі. Нехай в початковий момент часу t = 0 кількість руху системи дорів­нює , а в момент часу t ₁ стає рівною . Тоді, помножи­вши обидві частини векторного рівняння на dt та інтегруючи, одержимо

або .

Рівняння визначає теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпуль­сів зовнішніх сил, які діють на систему за цей же проміжок часу.

В проекціях на координатні осі рівняння матимуть вигляд:

Q _{1 x} - Q _{0 x} , Q _{1 y} - Q _{0 y} , Q _{1 z} - Q _{0 z} .

Покажемо зв’язок між доведеною теоремою та теоремою про рух центру мас. Оскільки , то, підставивши цей вираз в вираз теореми про зміну кількості руху та врахува­вши, що , матимемо: , тобто вираз теореми про рух центру мас.

Отже, теорема про рух центру мас та теорема про зміну кількості руху системи являють собою, по суті, дві різні фо­рми однієї теореми.

Практична цінність теореми полягає в тому, що вона до­зволяє виключити з розгляду наперед невідомі внутрішні сили.