Теорема про рух центру мас

В ряді випадків для визначення характеру руху механічної системи (особливо твердого тіла) потрібно знати закон руху її центру мас. Щоб знайти цей закон, звернемось до рівнянь руху системи в векторній формі і складемо почленно їх ліві та праві частини. В результаті одержимо

.

Перетворимо ліву частину рівності. З виразу для радіуса-вектора центру мас маємо

Візьмемо від обох частин одержаної рівності другу похідну по часу

або

,

де – прискорення центру мас системи.

Оскільки, згідно властивостей внутрішніх сил системи, , отримаємо остаточно

.

Одержане рівняння визначає теорему про рух центру мас механічної системи: добуток маси системи на при­скорення її центру мас дорівнює геометричній сумі всіх зов­нішніх сил, які діють на систему.

Порівнявши рівняння з рівнянням руху матеріальної то­чки (), одержимо інше формулювання теореми: центр мас системи рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи і до якої прикладені всі зов­нішні сили, які діють на систему.

Спроектувавши обидві частини рівняння на координатні осі, матимемо:

, , .

Дані рівняння є диференціальними рівняннями руху центру мас в проекціях на осі декартової системи координат.

Переваги доведеної теореми полягають в наступному.

1. Теорема надає обґрунтовування методам динаміки ма­теріальної точки. З рівнянь видно, що розв’язки, які ми отримуємо, коли розглядаємо дане тіло як матеріальну то­чку, визначають закон руху центру мас цього тіла, тобто ма­ють цілком конкретний зміст.

У частковому випадку, коли тіло рухається поступально, його рух повністю визначається рухом центру мас. Таким чи­ном, тіло, що рухається поступально, можна завжди розгля­дати як матеріальну точку з масою, яка дорівнює масі тіла.

У решті випадків тіло можна розглядати як матеріальну точку лише тоді, коли для визначення положення тіла достат­ньо знати положення його центру мас та, за умовами розв’язання задачі, не приймати до уваги обертальну частину руху тіла.

2. Теорема дозволяє при визначенні закону руху центру мас будь-якої системи виключати з розгляду всі наперед невідомі внутрішні сили. У цьому полягає її практична цінність.