Зведення сил інерції твердого тіла до центру

Згідно положень статики, які справедливі для будь-яких сил, систему сил інерції твердого тіла можна замінити однією силою , прикладеною в довільному центрі О, і парою сил з моментом, що дорівнює . Розглянемо кілька часткових випадків.

а) Поступальний рух. В цьому випадку приско­рення всіх точок тіла однакові і дорівнюють прискоренню центру мас С тіла (). Тоді всі сили інерції скла­дуть систему паралельних сил, аналогічних силам ваги , а тому, як і сили ваги, мають рівнодійну, яка прохо­дить через точку С. Отже

.

При поступальному русі сили інерції твердого тіла зводяться до рівнодійної, яка дорівнює головному вектору і проходить через центр мас тіла.

б) Обертальний рух. Нехай тверде тіло має площину ма­теріальної симетрії Oxy і обертається навколо осі Oz, яка перпе­ндикулярна цій площині (див. рис. 5.9, де показано переріз тіла площиною Oxy). Якщо звести сили інерції до центру О, то вна­слідок симетрії результуюча сила і пара сил будуть лежати в площині Oxy і момент пари буде дорівнювати . Оскільки для твердого тіла, яке виконує обертальний рух , тоді

,

де - кутове прискорення тіла.

Отже, система сил інерції тіла при обертанні зводиться до сили , яка прикладена в точці О (рис. 5.9), і до пари з момен­том , яка лежить в площині симетрії тіла.

в) Обертання навколо осі, яка проходить через центр мас тіла. Якщо тіло обертається навколо осі Cz, що проходить через центр мас С тіла, то 0, оскільки = 0. Отже, в даному випадку система сил інерції тіла зводиться тільки до пари з моментом , яка лежить в площині симетрії тіла (рис. 5.10).

г) Плоскопаралельний рух. Якщо тіло має площину симетрії, яка рухається паралельно до довільної нерухомої площини, то, очевидно, система сил інерції тіла зведеться до сили, яка лежить в площині симетрії, і дорівнює та прикладена в центрі мас С тіла (рис. 5.11), й до пари сил з моментом

.

З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга: момент інерції тіла відносно осі. Радіус інерції – с. 265-266; моменти інерції тіла відносно па­ралельних осей. Теорема Гюйгенса-Штейнера – с. 268-269; моменти інерції деяких однорідних тіл – с. 266-268

Питання для самоконтролю

1. В чому полягає принцип Даламбера для матеріальної точки?

2. Запишіть рівняння, яке відповідає принципу Даламбера для ма­теріальної точки.

3. Як визначається сила інерції матеріальної точки?

4. Запишіть і сформулюйте принцип Даламбера для механічної си­стеми.

5. Що таке механічна система?

6. Які сили, що діють на механічну систему, називаються зовнішніми, а які – внутрішніми?

7. Сформулюйте властивості внутрішніх сил.

8. Що таке маса механічної системи?

9. Яку точку називають центром мас механічної системи?

10. Як визначаються координати центру мас механічної сис­теми?

11. Чи змінюється положення центру мас твердого тіла та сис­теми матеріальних точок?

12. Що таке момент інерції твердого тіла (системи матеріальних точок) відносно осі? Як він визначається?

13. В яких одиницях системи СІ вимірюється момент інерції?

14. Що таке радіус інерції твердого тіла?

15. Як обчислити моменти інерції при відомому радіусі інерції тіла?

16. Запишіть формули, за якими визначаються осьові моменти інерції в декартових координатах.

17. Який вигляд будуть мати формули визначення моменту інерції у випадку суцільного однорідного тіла?

18. Сформулюйте теорему Гюйгенса-Штейнера та поясніть її застосування.

19. Запишіть диференціальні рівняння руху точок механічної системи.

20. Запишіть рівняння, які є аналогами теорем про рух центру мас і про зміну головного моменту кількостей руху механічної системи.

21. Запишіть вирази для головного вектора і головного моменту сил інерції механічної системи.

22. До чого зводяться сили інерції точок тіла, яке рухається посту­пально?

23. До чого зводяться сили інерції точок тіла, яке обертається на­вколо нерухомої осі, перпендикулярної до площини матеріальної симет­рії?

24. Де прикладається головний вектор сил інерції у випадку обер­тального руху твердого тіла?

25. Як визначається головний момент сил інерції, якщо вісь обер­тання проходить через центр мас тіла, який лежить в площині матеріа­льної симетрії?

Лекція Д6