Моменти інерції тіла відносно паралельних осей. Теорема Гюйгенса-Штейнера

При розв’язуванні задач часто виникає необхідність знаходження моменту інерції відносно осі за відомим моментом інерції відносно іншої осі, їй паралельній. З цією метою застосовується теорема Гюйгенса-Штейнера, яку наведемо без доведення:

момент інерції тіла відносно даної осі дорівнює моменту інерції відносно осі, яка їй паралельна, і проходить через центр мас тіла, складеному з добутком маси всього тіла на квадрат віддалі між осями, або в аналітичному вигляді

,

де - момент інерції відносно осі, яка проходить через центр мас тіла, а d - віддаль між осями (див. рис. 5.4).

Із формули видно, що J_Oz > J'_Cz. Отже, з усіх осей даного напрямку найменший момент інерції буде відносно тієї осі, яка проходить через центр мас.

Теорема Гюйгенса-Штей­нера дозволяє знайти момент інерції тіла відносно даної осі Oz ₁ і в тому випадку, коли відо­мий його момент інерції відно­сно будь-якої осі Oz ₂, паралель­ної до осі Oz ₁. Для цього необ­хідно знати віддалі d ₁ і d ₂ від кожної з цих осей до осі Cz', яка проходить через центр мас тіла. Тоді за відомим моментом іне­рції і віддаллю d ₂ з виразу теореми визначається момент інерції , а потім за тією ж фо­рму­лою знаходиться момент інерції для віддалі d ₁.