Вимушені коливання матеріальної точки

Розглянемо механічний агрегат, всередині якого рухається зворотно-поступально поршень (рис. 3.1).

В результаті взаємодії поршня із стінками циліндра згідно третього закону динаміки на тіло М буде діяти збурна сила , яка змінюється по гармонічному закону

Q = Q ₀ sin pt,

де Q ₀ – амплітуда збурної сили, а р – її кругова частота.

Розглянемо рух матеріальної точки, на яку діє збурна сила . Розрахункова схема для цього випадку показана на рис. 3.2.

Спочатку приймемо, що сила опору . Диференці­альне рівняння руху точки М в проекції на вісь Ох ма­тиме вигляд

або після перетворень

де .

Одержане рівняння є неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку, розв’язок якого складається з суми двох розв’язків

,

де x ₁ – розв’язок однорідного диференціального рівняння , а x ₂- частковий розв’язок неоднорідного рівняння.

Частковий розв’язок x ₂будемо шукати у вигляді

.

Для знаходження В знайдемо другу похідну від розв’язку і підставимо одержаний вираз разом з х ₂ в рівняння. В результаті одержимо

.

Тоді розв’язок при використанні першої форми розв’язку однорідного рівняння прийме вигляд

.

З одержаного розв’язку видно, що коливання матеріальної точки складаються з коливань двох видів: з круговою частотою k і з частотою p збурної сили. Коливання точки з частотою k, яка визначається тільки її масою m і жорсткістю c пружини, називаються власними, а з частотою p збурної сили – вимушеними.

Сталі інтегрування в одержаному розв’язку знаходяться з початкових умов. Неважко переконатися, що навіть коли почат­кові умови x ₀ = 0 і v ₀ = 0, стала інтегрування , тобто власні коливання матеріальної точки виникнуть під дією збурної сили.

Частковий розв’язок х ₂ не визначений при k = p. В цьому випадку його необхідно шукати у вигляді

Коефіцієнт C знайдеться підстановкою розв’язку x ₂ разом з в рівняння, тоді розв’язок матиме вигляд

Згідно наведеного виразу амплітуда вимушених коливань буде необмежено зростати. Таке явище називається резонансом.

Якщо сила опору , то диференціальне рівняння руху точки прийме вигляд

,

або після перетворень

.

Розв’язок одержаного рівняння також буде сумою розв’язків х ₁ і х ₂. Розв’язок x ₁ однорідного диференціального рівняння заданий виразами для вільних коливань при опорі, пропорційному швидкості.

Частковий розв'язок х ₂будемо шукати у вигляді

x ₂ = B sin (pt - b),

де В і β – деякі постійні коефіцієнти.

Величини В і β знаходяться підстановкою першої і та другої похідних по часу від розв'язку х ₂ та самого розв’язку в рівняння і виконання стандартних перетворень. Вирази для В і β мають вигляд

Підставивши в вираз для В величну Р ₀, матимемо

Повний розв’язок диференціального матиме вигляд

Сталі інтегрування C ₁ і C ₂ знайдуться з початкових умов. Власні коливання матеріальної точки, які відбуваються з круговою частотою k ₁, є затухаючими і припиняться через деякий проміжок часу, тому рух точки визначатимуть лише вимушені коливання.