Прямолінійний рух матеріальної точки

У випадку, коли сила, що діє на матеріальну точку (або рів­нодійна прикладених сил), має незмінний напрямок, а швидкість точки в початковий момент часу дорівнює нулю, або направ­лена вздовж сили, то рух точки буде прямолінійним.

Проектування виразу для другого закону дина­міки на координатну вісь Ox, направлену вздовж траєкторії точки M

(рис. 1.2) дасть рівняння

,

яке називається диференці­альним рівнянням прямолінійного руху матеріальної точки.

Для розв’язання основної задачі динаміки необхідно проінтегрувати одержане рівняння. Оскільки сила , то рівняння буде диференціальним рівнянням другого порядку виду .

При інтегруванні рівняння в ряді випадків його зручніше замінити двома рівняннями, які містять перші похідні

.

Якщо в задачі необхідно визначити тільки швидкість точки, то в простих випадках можна обмежитись інтегруванням першого з наведених рівнянь.

Розглянемо один випадок інтегрування рівнянь методом розділення змінних. Якщо сила F = const, то перше з рівнянь після розділення змінних зведеться до вигляду

,

або після інтегрування

Стала інтегрування C ₁ знайдеться з початкової умови для швидкості точки.

Початкові умови задають швидкість і координату точки в початковий момент часу, з якого починається дослідження руху. Для прямолінійного руху точки початкові умови мають вигляд:

при t = 0 x = x ₀; v_x= v ₀.

Підставивши t = 0 i v_x= v ₀ в розв’язок, одержимо: C ₁ = v ₀,тоді

.

Для знаходження закону руху точки замінимо в розв’язку v_x на і, розділивши змінні, одержимо

,

або після інтегрування

.

Стала інтегрування C ₂ знайдеться з початкової умови для координати точки: при t = 0 x = x ₀; C ₂ = x ₀. Тоді розв’язок прийме вигляд

.

Одержана рівність визначає закон руху матеріальної точки під дією постійної сили. Зокрема, такий вигляд має закон руху точки під дією сили ваги, якщо прийняти, що F = mg, а вісь Оx на рис. 1.3 направити вниз.

Інтегрування рівнянь у випадках, коли сили є змінними величинами, залежить від виду залежностей і здійснюється методами, відомими з курсу вищої математики.

Розглянемо приклад розв’язання задачі, коли сила є функцією часу.

Тіло масою m починає рухатись із стану спокою по гладенькій горизонтальній поверхні під дією сили F = kt, де k – коефіцієнт пропорційності. Знайти закон руху тіла.

Зображаємо тіло в довільному положенні на осі х, направленій в напрямку руху, та прикладаємо діючі сили (рис. 1.3). Оскільки проекції сили ваги і реакції поверхні на вісь Ох дорівнюють нулю, то дифере­нціальне рівняння в декартових координатах для осі Ох матиме вигляд

, або .

Розділимо в останньому рівнянні змінні та проінтегруємо

; .

Стала інтегрування С₁ знайдеться з початкових умов. Оскільки рух почався із стану спокою, то при t = 0 v_x0 = 0; x = 0, тоді С₁ = 0.

Перепишемо вираз для v_x у вигляді , розділимо змінні і проінтегруємо

; .

Оскільки при t = 0 x = 0, то С₂ = 0.

Розв’язок має вигляд: . Отже, швидкість тіла зростає пропорційно квадрату, а шлях, який воно проходить, є пропорційним кубу часу.

З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга[1]: вступ – с. 180-181; динаміка матеріальної точки. Три закони динаміки – с. 181-183; системи одиниць – с. 183-184; основні види сил – с. 184-186; диференціальні рівняння руху точки – с. 186-187; дві задачі динаміки та їх розв’язання – с. 183,187-190; прямолінійний рух матеріальної точки – с. 190-191.

Питання для самоконтролю

1. Яка фізична величина є мірою інерційних властивостей тіла?

2. Сформулюйте перший закон динаміки. В якому випадку він виконується?

3. Запишіть вираз для другого закону динаміки у випадку дії на тіло кількох сил.

4. Сформулюйте третій закон динаміки.

5. Запишіть диференціальне рівняння руху точки в векторній формі.

6. Запишіть диференціальні рівняння руху точки в проекціях на осі прямокутної декартової системи координат.

7. Запишіть диференціальні рівняння руху точки в проекціях на осі натурального тригранника.

8. Сформулюйте першу та другу задачі динаміки.

9. При яких умовах рух точки буде прямолінійним?

ЛЕКЦІЯ Д2