Швидкості

Розглянемо рух матеріальної точки, коли крім сили пружності на неї діє ще й сила в’язкого тертя . Така сила виникає, наприклад, при наявності гідравлічного демпфера, в якому в’язка рідина перетікає через отвори в поршні (рис. 2.4).

Диференціальне рівняння руху точки М впроекції на вісь Ох матиме вигляд

.

Врахувавши, що , та поділивши на масу m, одержимо:

.

Позначивши і , матимемо диференціальне рівняння вільних коливань при опорі, пропорційному швидкості

.

Перша форма розв’язку рівняння при (сила пружності більша, ніж сила опору) згідно теорії диференціальних рівнянь має вигляд

де

Сталі інтегрування С ₁ і С ₂ знаходяться з початкових умов аналогічно попередньому випадку. Як і у випадку вільних коливань за відсутності опору, при аналізі руху матеріальної точки зручніше користуватися амплітудною формою розв’язку, яка має вигляд

.

Сталі інтегрування A і a можна знайти з початкових умов.

Через наявність в амплітудній формі розв’язку експоненціальної функції амплітуда коливань буде постійно зменшуватись, і через деякий проміжок часу рух матеріальної точки припиниться. Коливання, які відбуваються по наведеному закону, називаються затухаючими.

Величина k ₁, яка входить у першу та другу форми розв’язку, є круговою частотою затухаючих коливань. Коливання будуть повторюватись, хоча і з меншою амплітудою, через час

,

який називається періодом затухаючих коливань.

Розглянемо, як впливає затухання на величину періоду коливань T ₁. Підставивши в T ₁ вираз для k ₁, винесемо величину k з-під кореня та скористаємось розкладанням в ряд, обмежившись першим членом розкладання

Як видно з наведеного виразу, період затухаючих коливань зростає порівняно з вільними коливаннями, причому зростання періоду тим більше, чим більше затухання (величина b).

Далі з’ясуємо, за яким законом відбувається затухання коливань. З цією метою запишемо вирази для двох сусідніх додатних амплітуд х ₁ і х ₂, що відповідають моментам часу t ₁ і t ₂, які відрізняються на період Т ₁

Аналогічні вирази можна одержати для будь-яких сусідніх амплітуд, тобто в загальному випадку

.

Одержаний вираз є формулою для знаходження наступного члена геометричної прогресії за попереднім членом і знаменником.

Знаменник геометричної прогресії

називається декрементом коливань. Декремент коливань показує, в скільки разів амплітуда коливань зменшується за один період.

Крім декремента коливань в теорії коливань використовують також логарифмічний декремент коливань

Таким чином, коливання затухають за законом геометричної прогресії.

У випадку, коли k < b (сила пружності менша, ніж сила опору) розв’язок диференціального рівняння має вигляд

де , а при k = b (сила пружності дорівнює силі опору)

Сталі інтегрування С ₁ і С ₂ знаходяться з початкових умов.

В наведені вирази входить експоненціальна функція, яка і визначає закон руху матеріальної точки: виведена з положення рівноваги матеріальна точка через певний період часу повернеться в попереднє положення.

З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга[1]: механічні коливання. Вільні коливання точки при відсутності опору – с. 232-235; паралельне та послідовне з’єднання пружин – с. 236-237.

Питання для самоконтролю

1. При дії якої сили виникають механічні коливання?

2. Що називається коефіцієнтом жорсткості пружини?

3. Напишіть розмірність коефіцієнта жорсткості.

4. Напишіть диференціальне рівняння вільних коливань матеріальної точки при відсутності опору.

5. Напишіть першу та другу форми розв’язку диференціального рівняння вільних коливань при відсутності опору.

6. Які параметри вільних коливань залежать, а які не залежать від початкових умов?

Лекція Д3