Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида рационализируются универсальной тригонометрической подстановкой: . При этомиспользуются формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного аргумента

.

Кроме того, при замене переменной в этом интеграле учитываем, что .

Рационализация с помощью универсальной подстановки иногда приводит к громоздким подынтегральным функциям. В некоторых частных случаях эффективнее использовать подстановки или .

1.19).

. В этом примере использована универсальная подстановка.

1.20). . Здесь удобно выполнить замену . И, так как , то

.

В интегралах вида , если и - четные положительные числа, используются формулы понижения степени: . Если же или - нечетное число, интеграл находят, отделяя от нечетной степени один множитель.

1.21). =

. Здесь .

1.22). . Обозначив , получим

. Здесь .

Интегралы вида находятся с помощью тригонометрических формул: ,

, .

1.23). .

Задания для самостоятельного решения

1.29. . 1.36. . 1.43. .

1.30. . 1.37. . 1.44. .

1.31. . 1.38. . 1.45. .

1.32. . 1.39. . 1.46. .

1.33. . 1.40. . 1.47.

1.34. 1.41. . 1.48. .

1.35. . 1.42. . 1.49. .

Ответы.

1.29. 1.36. . 1.43. .

.

1.30. . 1.37. . 1.44. .

1.31. . 1.38. . 1.45. .

1.32. .1.39. 1.46. .

1.33. . 1.40. . 1.47.

1.34. . 1.41. . 1.48. .

1.35. . 1.42. . 1.49. .

1.2.Определенный интеграл.

Функция определена и ограничена на отрезке . Произвольно выбранными точками

разобьем этот отрезок на элементарных отрезков , , длина каждого из которых равна . В каждом из этих элементарных отрезков произвольно выберем точку , . Сумма вида

называется -ой интегральной суммой функции на отрезке . Если на , то - площадь ступенчатой фигуры. Обозначим .

Конечный предел последовательности интегральных сумм при и называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

.

Предел в этом определении не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки и выбора в каждом из них промежуточных точек . Здесь - переменная интегрирования, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, - отрезок интегрирования, и - нижний и верхний пределы интегрирования. Если определенный интеграл существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке . В частности, непрерывность подынтегральной функции на отрезке обеспечивает ее интегрируемость на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Если на , то - это площадь криволинейной трапеции – плоской фигуры, ограниченной графиком функции , осью и двумя прямыми .

Теорема. Если функция определена и непрерывна на всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.