![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Настоящий УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС (УМК) является руководством для освоения следующих четырех разделов математики изучаемых во втором семестре 1-го курса на факультете экономики и управления МТУСИ: 1. Интегрирование, 2. Функции нескольких переменных, 3. Дифференциальные уравнения, 4. Ряды. Уменьшение общей суммы часов аудиторных занятий, выделяемых для бакалавров, требует от студентов большей самостоятельности, и предлагаемое пособие решает возникающую при этом задачу – предоставить в краткой и ясной форме, в едином комплексе, все, что требуется для такой самостоятельной работы.
Каждый из четырех разделов снабжен кратким изложением теории и методов решения задач, иллюстрируемых примерами с подробным их решением. Кроме того, для каждой отдельной темы даны задания для самостоятельной работы. Часть рекомендуемых здесь задач может быть разобрана студентами вместе с преподавателем во время аудиторных занятий, остальные предлагаются в качестве домашней работы. В конце каждого из четырех разделов приведены 30 вариантов заданий домашней контрольной работы. В завершение дается перечень вопросов к экзамену, сдаваемому по окончании 1-го курса, и список литературы, с помощью которой каждый студент может расширить и углубить свои знания по изучаемым разделам курса. Первые два пособия в этом списке рекомендуются как основные, остальные – как дополнительные.
Таким образом, предлагаемый УМК полностью обеспечивает студентов всем необходимым материалом для аудиторной (лекции и практические занятия) и самостоятельной работы, а также для сдачи текущей отчетности (4 контрольные работы), а, затем, и экзамена по курсу “Математика” во втором семестре первого курса.
1. Интегрирование
1.1. Неопределенный интеграл
Основной операцией дифференциального исчисления является дифференцирование - нахождение производной данной функции. Обратной к этой операции является интегрирование – отыскание функции по известной ее производной. В этом разделе рассматриваются некоторые из основных методов и приемов интегрирования.
Функция , для которой выполняется равенство
для всех
из области определения
, называется первообразной функции
. Несколько примеров первообразных для различных функций приведем в следующей таблице.
Таблица 1.
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Если - первообразная функции
, то функция
, где С – любое действительное число, также является первообразной функции
, т.к.
.
Теорема 1. Любые две первообразные и
данной функции
отличаются только на некоторую постоянную, т.е. существует число
такое, что
.
Доказательство. Поскольку и
, то
. А это означает, что
. Итак,
.
Следствие. Если - одна из первообразных функции
, то множество всех ее первообразных имеет вид
.
Теорема 2. Если функция непрерывна в области своего определения, то она имеет первообразную, определенную в этой же области.
Множество всех первообразных данной функции называется ее неопределенным интегралом (обозначается
):
. Здесь
- переменная интегрирования,
- подынтегральная функция,
- подынтегральное выражение,
-знак неопределенного интеграла,
- одна из первообразных функции, С – произвольная постоянная (
) называемая постоянной интегрирования.
Например, . Множество всех первообразных подынтегральной функции
представляет собой множество парабол отличающихся от первообразной
параллельным переносом по оси
. Таким образом, все эти параболы покрывают сплошь плоскость
. При этом через каждую точку плоскости проходит только одна из парабол этого семейства первообразных.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 260 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!