Введение. Настоящий учебно – методический комплекс (УМК) является руководством для освоения следующих четырех разделов математики изучаемых во втором семестре 1-го

Настоящий УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС (УМК) является руководством для освоения следующих четырех разделов математики изучаемых во втором семестре 1-го курса на факультете экономики и управления МТУСИ: 1. Интегрирование, 2. Функции нескольких переменных, 3. Дифференциальные уравнения, 4. Ряды. Уменьшение общей суммы часов аудиторных занятий, выделяемых для бакалавров, требует от студентов большей самостоятельности, и предлагаемое пособие решает возникающую при этом задачу – предоставить в краткой и ясной форме, в едином комплексе, все, что требуется для такой самостоятельной работы.

Каждый из четырех разделов снабжен кратким изложением теории и методов решения задач, иллюстрируемых примерами с подробным их решением. Кроме того, для каждой отдельной темы даны задания для самостоятельной работы. Часть рекомендуемых здесь задач может быть разобрана студентами вместе с преподавателем во время аудиторных занятий, остальные предлагаются в качестве домашней работы. В конце каждого из четырех разделов приведены 30 вариантов заданий домашней контрольной работы. В завершение дается перечень вопросов к экзамену, сдаваемому по окончании 1-го курса, и список литературы, с помощью которой каждый студент может расширить и углубить свои знания по изучаемым разделам курса. Первые два пособия в этом списке рекомендуются как основные, остальные – как дополнительные.

Таким образом, предлагаемый УМК полностью обеспечивает студентов всем необходимым материалом для аудиторной (лекции и практические занятия) и самостоятельной работы, а также для сдачи текущей отчетности (4 контрольные работы), а, затем, и экзамена по курсу “Математика” во втором семестре первого курса.

1. Интегрирование

1.1. Неопределенный интеграл

Основной операцией дифференциального исчисления является дифференцирование - нахождение производной данной функции. Обратной к этой операции является интегрирование – отыскание функции по известной ее производной. В этом разделе рассматриваются некоторые из основных методов и приемов интегрирования.

Функция , для которой выполняется равенство для всех из области определения , называется первообразной функции . Несколько примеров первообразных для различных функций приведем в следующей таблице.

Таблица 1.

Если - первообразная функции , то функция , где С – любое действительное число, также является первообразной функции , т.к. .

Теорема 1. Любые две первообразные и данной функции отличаются только на некоторую постоянную, т.е. существует число такое, что .

Доказательство. Поскольку и , то . А это означает, что . Итак, .

Следствие. Если - одна из первообразных функции , то множество всех ее первообразных имеет вид .

Теорема 2. Если функция непрерывна в области своего определения, то она имеет первообразную, определенную в этой же области.

Множество всех первообразных данной функции называется ее неопределенным интегралом (обозначается ): . Здесь - переменная интегрирования, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, -знак неопределенного интеграла, - одна из первообразных функции, С – произвольная постоянная () называемая постоянной интегрирования.

Например, . Множество всех первообразных подынтегральной функции представляет собой множество парабол отличающихся от первообразной параллельным переносом по оси . Таким образом, все эти параболы покрывают сплошь плоскость . При этом через каждую точку плоскости проходит только одна из парабол этого семейства первообразных.