Интегрирование рациональных выражений

Рассмотрим интеграл от рациональной дроби , в которой степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе. Деление с остатком числителя на знаменатель позволяет представить эту подынтегральную функцию в виде суммы многочлена, как целой части данной неправильной рациональной дроби, и некоторой правильной рациональной дроби (степень многочлена меньше степени многочлена ).

1.13). . Подынтегральная функция здесь - это неправильная рациональная дробь.

Деление с остатком (“деление в столбик”) позволяет выделить ее целую часть и представить в виде: . А исходный интеграл вычисляется как разность двух интегралов.

.

Из курса алгебры известна следующая

Теорема. Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей вида

,

где ; .

1.14). . В соответствии с разложением знаменателя данной рациональной дроби по корням сама дробь по сформулированной выше Теореме представляется в виде суммы простейших дробей первого типа

.

Умножая обе части этого равенства на , получим

.

Это равенство двух многочленов выполняется тождественно для всех , а это возможно только при совпадении коэффициентов при одинаковых степенях .

Решая эту систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными, получаем , ,

. Таким образом, подынтегральная функция представляется в виде

,

поэтому

.

1.15). . Поскольку многочлен третьей степени в знаменателе данной правильной дроби обращается в нуль при , остальные его корни находим делением этого многочлена на , и получаем следующее разложение знаменателя дроби по корням

,

в соответствии с которым по той же Теореме записываем представление подынтегральной функции в виде

.

В этом представлении множителю соответствуют две дроби второго и первого типа. Умножая обе части этого равенства на , т.е. освобождаясь от знаменателей, получим равенство двух многочленов . Составить систему

для определения коэффициентов можно двумя способами: приравнять коэффициенты при одинаковых степенях , или подставить в равенство многочленов . Итак, получаем . Следовательно,

.

1.16). . Разложение знаменателя по корням

определяет представление подынтегральной функции в виде суммы простейших дробей первого и третьего типов

.

Коэффициенты находим из тождества

,

в которое подставляем четыре различных значения . Отсюда система

,

имеющая решение . Таким образом, исходный интеграл представлен в виде суммы следующих интегралов:

.

Последний интеграл в правой части равенства вычислим выделяя в числителе производную

знаменателя и выделяя полный квадрат в знаменателе второго из следующих интегралов:

.

Окончательный ответ выглядит так

.

Замечание. При вычислении интеграла были продемонстрированы два основных приема, используемых для интегрирования функций, содержащих квадратный трехчлен, например, интегралов от простейших дробей третьего типа: . А именно: выделение в числителе производной знаменателя и выделение полного квадрата в знаменателе. В том случае, когда квадратный трехчлен в знаменателе имеет действительные корни, следует пользоваться тем, что подынтегральная функция разлагается на две простейшие дроби первого типа.