Сила давления покоящейся жидкости на плоскую поверхность

Определим силу, с которой покоящаяся жидкость воздействует на плоскую поверхность (рисунок 1.14), наклоненную к горизонту под углом a.

Выделим на этой поверхности участок произвольной формы площадью w. Во всех точках этого участка действует гидростатическое давление р, направленное по нормали к плоскости поверхности, и, в соответствие с основным уравнением гидростатики р=р _о +g×h, тем больше по величине, чем глубже под свободной поверхностью жидкости находится рассматриваемая точка. Полную силу давления жидкости на площадь w найдем путем суммирования всех элементарных сил давления, параллельных друг другу.

Для определения суммарной силы давления F на участок плоской поверхности w и точки приложения этой силы (центр давления) возьмем систему координатных осей. За начало системы примем точку пересечения плоской поверхности со свободной поверхностью жидкости. Ось Х направим по линии пересечения плоской поверхности со свободной поверхностью жидкости, а ось Y – под прямым углом к ней в плоскости плоской поверхности.

Для удобства и наглядности последующих рассуждений повернем плоскую поверхность вокруг оси Y до совмещения ее с плоскостью чертежа. В повернутом положении ось Х займет положение Х¢, перпендикулярное оси Y, и рассматриваемый участок плоской поверхности w будет изображаться на чертеже в натуральную величину.

В пределах площади w выделим элементарную площадку dw с глубиной погружения ее центра на величину h.

Элементарная сила dF, действующая на эту площадку

dF = p_c× dw.

где p_с – среднее гидростатическое давление в пределах площадки dw.

Так как размеры площадки dw бесконечно малы, то можно принять среднее давление p_с равным давлению в центре этой площадки p.

Учитывая это, элементарная сила dF запишется как

dF=p×dw= (p _o +g×h) dw. (1.42)

Из чертежа видно, что

h=y× sin a,

и тогда уравнение (1.42) можно записать так:

dF=p _о ×dw+g× y× sin α×dw.

Интегрируя это выражение по всей площади w получим

F= .

Первый интеграл в правой части равен площади w, а второй представляет известное выражение статического момента S_x площади w относительно оси Х

S_x=y_c×w,

где y_c - координата центра тяжести площади w.

Тогда

F= ,

где y_c× sin a=h_c и поэтому

F= . (1.43)

При р ₀= р_атм сила избыточного давления

F= . (1.44)

Следовательно, полная сила гидростатического давления на плоскую поверхность равна произведению площади плоской поверхности на гидростатическое давление в ее центре тяжести.