Равновесие жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью сосуда

При вращении сосуда, наполненного жидкостью, вокруг его вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w (рисунок 1.13) жидкость постепенно вследствие вязкости увлекается во вращение и движется с некоторой угловой скоростью, которую можно принять также равной w.

На частицу жидкости массы m, находящуюся на расстоянии r от оси вращения, действует центробежная сила, равная по величине C=m×w²×r, и с ила тяжести, равная m×g.

Действующая на частицу жидкости центробежная сила находится в горизонтальной плоскости.

Разложив эту силу по осям x и y,получим

и .

Здесь косинусы углов между направлениями r и x, а также r и y равны и .

Тогда

.

Ускорения, создаваемые этими силами, получим путем деления последних на массу m.

Проекции ускорений единичной массовой силы по осям координат, следовательно, будут

X=w²×x; Y=w²×y; Z=–g.

Подставим эти значения в уравнение

dр=r (X×dx+Y×dy+Z×dz)

и получим

dр=r (w²×x×dx+w²×y×dy–g×dz).

Интегрируя, получим

Так как центр координат лежит на свободной поверхности жидкости, где р=р ₀, постоянную интегрирования С определим из условия, что при r= 0 и z =0 р=р ₀; тогда

С=р ₀.

Окончательно

. (1.37)

Уравнение свободной поверхности жидкости получим, приняв р=р ₀, т.е.

, (1.38)

откуда

или

. (1.39)

Это уравнение параболоида вращения с вершиной в центре координат.

Свободную поверхность жидкости можно построить, получая из уравнения (1.39) величины r для различных значений координаты z.

Придадим уравнению свободной поверхности (1.39) несколько иную форму, учитывая, что

.

Отсюда, после сокращения на g

. (1.40)

Проведем горизонтальную плоскость 1-1 через вершину параболоида свободной поверхности. Для всех ее точек z _o=0. если теперь взять на свободной поверхности любую точку с координатой z, то возвышение ее над плоскостью 1-1

, (1.41)

где r - радиус точки.

Уравнение (1.41) дает нам возвышение любой точки свободной поверхности над плоскостью 1-1 или, что то же самое, глубину погружения любой точки плоскости 1-1 под свободной поверхностью жидкости – Δ h.