Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Если левая часть уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (6.4.9)

представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то уравнение (6.4.9) называется уравнением в полных дифференциалах. В этом случае его можно переписать в виде dU(x,y)=0, так что общий интеграл

U(x,y)=C. (6.4.10)

Для того чтобы уравнение (6.4.9) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D, в которой функции P(x,y) и Q(x,y) определены, непрерывны и имеют непрерывные частные производные и , было выполнено условие

. (6.4.11)

В том случае, когда условие (6.4.11) выполнено, общий интеграл уравнения (6.4.9) можно записать в виде

(6.4.12)

или

, (6.4.13)

где (x₀;y₀) – произвольная фиксированная точка области D.

Если же условие (6.4.11) не выполнено, то уравнение (6.4.9) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию µ(x,y), которая называется интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель легко находится в следующих двух случаях:

1)когда он зависит т о л ь к о от x, т.е. µ=µ(x);

2)когда он зависит т о л ь к о от y, т.е. µ=µ(y).

Первый из этих случаев имеет место, если отношение

является функцией только от x; тогда интегрирующий множитель находится по формуле

. (6.4.14)

Второй случай имеет место, если отношение

является функцией только от y; тогда интегрирующий множитель определяется по формуле

. (6.4.15)