![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Признаки Даламбера и Коши не всегда являются эффективными при исследовании характера данного ряда.
Рассмотрим еще один признак, который позволяет иногда решать вопрос о сходимости ряда с положительными членами в тех случаях, когда рассмотренные выше признаки оказываются неприодными.
Этот признак основан на сравнении данного ряда с некоторым несобственным интегралом I рода от функции , значения которой при последовательных целых значениях аргумента дают все члены этого ряда.
Теорема 6.2.10..Дан положительный ряд (6.2.1); если существует не возрастающая непрерывная ф-ия
, где
, такая, что
, то
1)ряд (6.2.1) сходится, если сходится несобственный интеграл ; и
2)расходится, если этот интеграл расходится.
Пример 6.2.16.
Предположим - непрерывная, при
функция, убывает с возрастанием х.
Несобственный интеграл сходится, следовательно, данный ряд сходится.
Пример 6.2.17. Исследовать на сходимость ряд , где a - любое действительное число, т. е.
1) непосредственно видно, что при член ряда
стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е. не выполняется даже необходимый признак сходимости ряда, и, следовательно, ряд расходится.
2)пусть теперь
Как легко проверить, признак Даламбера и Коши вопроса о сходимости этого ряда не решают. С помощью же интегрального признака вопрос о сходимости этого ряда решается легко.
- эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы, рассмотренной выше.
( - непрерывна, положительна и убывает при
)
Вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости несобственного интеграла
(*).
При каких существует интеграл (*)?
Вычислим
а) пусть
Тогда при
и интеграл
Ряд расходится.
б) пусть
- ряд расходится
в) пусть
Тогда при
Следовательно ряд сходится, т. к.
Вывод.Ряды вида 1)сходятся при
и 2) расходятся при
, где
Замечание 6.2.3.При ряд обращается в гармонический:
Выше мы рассмотрели теоремы сравнения, основанные на сравнении друг с другом двух рядов.
Какие же ряды используются для сравнения?
При непосредственном применении теоремы сравнения в основном пользуются рядами:
1)геометрическим рядом (сходящимся при
);
2)рядами (сходящимися при
)
Пример 6.2.18.
Оценим общий член ряда: , но ряд с общим членом =
сходится (a=3).
Поэтому по теореме 1 признаков сравнения данный ряд также сходится.
Пример 6.2.19.
,
,
ряды сходятся или расходятся одновременно, т. к. . Но ряд с
- сходится. Поэтому данный ряд также сходится.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 522 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!