Необходимый признак сходимости ряда

Рассмотрим необходимый признак сходимости ряда, т. е. укажем условие, при невыполнении которого ряд наверняка расходится.

Теорема 6.2.4. Если ряд (6.2.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании номера этого члена, т. е. .

Пусть ряд (6.2.1) сходится и сумма его равна S, т. е.

Наряду с этим равенством имеет место и такое равенство:

Запишем теперь очевидное равенство: , найдем предел

Таким образом, для сходимости ряда (6.2.1) необходимо, чтобы общий член его имел предел, равный нулю.

Пример 6.2.5. +

Данный ряд расходится, т. к. его общий член при имеет предел, равны 1:

Пример 6.2.6..

Ряд расходится, т. к. = sin не существует.