Остаток ряда

Пусть дан ряд: (6.2.1). Отбросим любое фиксированное число «k» его первых членов, тогда получим новый ряд (6.2.2)

Определение 6.2.2. Ряд (6.2.2), который получается из данного ряда (6.2.1) путем отбрасывания некоторого конечного числа членов, взятых подряд начиная с первого, называется остатком данного ряда.

Если отброшено k первых членов, то остаток называется k-м остатком и его можно записать в виде суммы .

По своему поведению ряды (6.2.1) и (6.2.2) тесно связаны.

Теорема 6.2.3. Ряды (6.2.1) и (6.2.2): 1) либо одновременно сходятся 2) либо одновременно расходятся.

Вывод. Таким образом: 1) если сходится данный ряд , то сходится и любой его отстаток; 2) если сходится какой-либо остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Следствие: Ряды (6.2.3) и (6.2.4.), у которых лишь конечное число членов отличается друг от друга, либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Д-но, если, например, , начиная с n>k, то ряды (6.2.3.) и (6.2.4.) сходятся или расходятся одновременно с рядом (6.2.2):

Таким образом, отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда.

Поэтому при исследовании ряда на сходимость можно: 1) изменять конечное число членов этого ряда, а так же 2) добавлять или 3) отбрасывать конечное число членов.

Пример 6.2.4.Исследовать на сходимость ряд

(n>4)

Решение. Отбросим в данном ряде 4-ре первых члена, тогда получим новый ряд:

(n=1, 2, 3, …)

который сходится как геометрическая прогрессия с <1. Следовательно, сходится и рассматриваемый ряд.