![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим теперь простейшую поверхность - плоскость и несколько способов ее задания.
Положение плоскости в пространстве полностью определяется ее расстоянием от точки
(длинной перпендикуляра
, опущенного из точки
на плоскость), и единичным вектором
, перпендикулярным плоскости и направленным от точки
к плоскости (рис.5.2). Когда точка
движется по плоскости, то ее радиус вектор
меняется так, что
. (5.1)
Это условие имеет место для всех точек плоскости и лишь для них. Но , следовательно, уравнение (5.1) может быть переписано в виде:
(5.2)
Это уравнение называется нормальным уравнением плоскости.
Переходя в уравнении (5.2) к координатам и помещая их начало в точку , заметим, что проекции единичного вектора
на координатные оси равны его направляющим косинусам, а проекциями радиуса-вектора
точки
служат её координаты
. Выражая скалярное произведение
через их координаты, получим:
. (5.3)
Уравнение (5.3) называется нормальным уравнением плоскости в канонической форме. Его степень относительно равна единице, следовательно, всякую плоскость можно задать уравнением первой степени относительно текущих координат.
Заметим, что уравнения (5.2) и (5.3) верны и тогда, когда , т.е. плоскость проходит через начало координат. В этом случае за
можно принять любой из двух единичных векторов, перпендикулярных к плоскости (они отличаются знаком).
Покажем теперь, что всякое уравнение первой степени между тремя переменными определяет плоскость. Возьмем уравнение первой степени общего вида:
(5.4)
Будем рассматривать как проекции некоторого вектора
на оси координат, а
огда уравнение (5.4) может быть переписано в векторной форме в следующем виде:
(5.5)
Покажем, что уравнение (5.5) может быть приведено к нормальному виду (5.2). Рассмотрим следующие случаи.
1) Пусть . Разделим уравнение (5.5) на модуль вектора
, получим:
, так как
. Обозначив
через
, получим нормальное уравнение
2) Если , то разделим уравнение (5.5) на
после чего оно примет вид:
. Обозначив
через
, получим нормальное уравнение.
3) Если , то уравнение (5.5) можно разделить как на
в первом случае мы получим
, во втором -
Каждое из них является нормальным уравнением.
Таким образом, уравнение (5.5) всегда может быть приведено к нормальному виду (5.2). Но нормальное уравнение определяет плоскость. Следовательно, уравнение (5.5), а значит и исходное уравнение (5.4), определяют плоскость.
Уравнение (5.4) называется общим уравнением плоскости.
Всякий вектор, отличный от нуля и перпендикулярный к плоскости, называется . Тогда, очевидно, вектор
будет одним из нормальных векторов плоскости. Таким образом, коэффициенты
при текущих координатах в уравнении (5.4) имеют простой геометрический смысл: они являются проекциями нормального вектора на оси координат. Смысл свободного члена
заключается в том, что его абсолютная величина, разделенная на длину нормального вектора, равна расстоянию от плоскости до начала координат.
Если за нормаль плоскости выбран единичный вектор, направленный из начала координат перпендикулярно к данной плоскости, то уравнение (5.5) превращается в нормальное.
Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному виду, надо его разделить на длину вектора взяв ее со знаком + или -, смотря по тому, будет ли свободный член
отрицательным или положительным. Иными словами, для приведения общего уравнения (5.5) к нормальному виду надо умножить его на
причем знак множителя надо брать противоположным знаку свободного члена . После умножения на
уравнение (5.5) принимет вид:
и совпадет с нормальным уравнением (5.3). Следовательно:
(5.7)
Подставляя значение из (5.6) в эти равенства, получаем:
Если то в этих формулах берется знак "+", иначе "-".
Замечание 5.1. Если два уравнения определяют одну и ту же плоскость, то соответствующие коэффициенты их пропорциональны. Действительно, будучи приведены к нормальному виду, оба эти уравнения перейдут в одно и то же нормальное уравнение. Коэффициенты каждого из них пропорциональны коэффициентам этого нормального уравнения, а потому пропорциональны и между собой.
Пример. 5.3. Уравнение плоскости привести к нормальному виду. Нормирующий множитель будет:
умножая на него данное уравнение, получим:
Для данной плоскости, следовательно, имеем:
Исследуем теперь, какое положение относительно осей координат занимает плоскость, заданная уравнением
, (5.8)
если некоторые коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль.
Если то уравнению (5.8) удовлетворяют
т.е. плоскость проходит через начало координат. Если
, то
(5.9)
На плоскости Oxy это уравнение задает прямую. Рассматривая же его в пространстве, мы будем иметь геометрическое место тех точек, которые проектируются на плоскость Oxy в точки указанной прямой. Таким образом, уравнение (5.9) определяет плоскость, параллельную оси Oz. Аналогично, если , то уравнение
определяет плоскость, параллельную оси Oy. Наконец, если
, то уравнение
определяет плоскость, параллельную оси Ox.
Допустим теперь, что два коэффициента равны нулю,например . Уравнение
определяет плоскость, проходящую через начало координат параллельно оси Oz, т.е. это будет плоскость, проходящая через ось Oz. Аналогично уравнение вида
определяет плоскость, проходящую через ось Oy, а уравнение
определяет плоскость, проходящую через ось Ox.
Если равны нулю два коэффициента при текущих координатах, например то уравнение
определяет плоскость, параллельную оси Ox и оси Oy, т.е. плоскость, параллельную плоскости координат Oxy. Также уравнения
и
определяют плоскости, параллельные соответственно Oxz и Oyz.
Если, наконец, три коэффициента равны нулю, например , то уравнение
определяет плоскость координат Oyz. Также уравнения
и
определяют соответственно плоскости координат Oxz и Oxy.
Приведем еще несколько форм задания уравнения плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках. Рассмотрим плоскость, пересекающую все три координатные оси и не проходящую через начало координат. Ее уравнение можно записать в виде
, (5.10)
где ни один из коэффициентов не равен нулю. Обозначим через
величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат (рис.5.3). Так как точка
) лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению (5.10), тогда
или
Аналогично, используя точки получим:
0 |
x |
y |
z |
P |
R |
Q |
x |
y |
z |
M |
N |
![]() |
r |
![]() |
Рис. 5.3. Уравнение плоскости в отрезках. |
Рис.5.4. Уравнение плоскости, через точку. |
Подставляя найденные значения в уравнение (5.10), получим:
Сокращая на , которое в силу предположения не равно нулю, найдем:
, или
Это и есть искомое уравнение плоскости в отрезках.
Пример 5.4. Уравнение плоскости написать в отрезках. Полагая в данном уравнении
найдем
. Аналогично, полагая
. Следовательно, искомое уравнение в отрезах будет
.
Уравнение плоскости, проходящей через точку . Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку M с радиус-вектором
(a;b;c) и перпендикулярной вектору
. Обозначим эту плоскость
(рис.5.4).
Проведем радиус-вектор в произвольную точку
этой плоскости. Тогда вектор
или
, как лежащий в плоскости P, будет перпендикулярен вектору N. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:
(5.11)
Это равенство есть условие того, что точка лежит в плоскости
. Оно справедливо для всех точек этой плоскости и нарушается только тогда, когда точка
оказывается вне плоскости
Выражая скалярное произведение векторов через координаты сомножителей, получим уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, в координатной форме:
. (5.12)
Изменяя значения , мы будем получать различные плоскости, проходящие через данную точку
. Таким образом, уравнение (5.12) при любых значениях коэффициентов
задает плоскость, проходящую через точку
).
Пример 5.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору
Уравнение искомой плоскости:
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Рассмотрим три точки, не лежащие на одной прямой. Обозначим их радиусы-векторы через а радиус-вектор текущей точки
через
. Векторы
,
лежат в одной плоскости, следовательно, они компланарные и их смешанное произведение равно нулю:
( -
)(
)(
)=0. (5.13)
Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки в векторной форме. Переходя к координатам, получаем:
=0
где
Если три данные точки лежат на одной прямой, то векторы
,
коллинеарны. Поэтому соответствующие элементы двух нижних строк определителя пропорциональны и определитель равен нулю. Следовательно, уравнение (5.14) обращается в тождество при любых значениях
. Геометрически это означает, что через каждую точку пространства проходит плоскость, в которой лежат три данные точки.
Пример 5.6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
. Используем уравнение (5.14):
Отсюда получаем искомое уравнение: .
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 1215 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!