Матрицы и действия над ними

Прямоугольная таблица чисел

(2.12)

называется матрицей из строк и столбцов. Числа () называются элементами матрицы. Заметим, что в обозначении элемента матрицы использованы индексы и , указывающие соответственно номер строки и номер столбца матрицы, в которых стоит этот элемент, т.е. индексы указывают место элемента в матрице. Подчеркнем, что первый индекс указывает номер строки, второй - номер столбца. Мы в дальнейшем будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами , , и т.д., а их элементы, по возможности, соответствующими прописными буквами.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей столбцом, состоящая из одной строки - матрицей строкой.

Если матрица состоит из элементов и имеет строк и столбцов, то для описания матрицы будем часто вместо записи вида (2.12) использовать более компактную запись - .

Количество строк и число столбцов матрицы называются ее размерами. Для указания размеров такой матрицы используется запись (сначала число строк, потом число столбцов).

Рассмотрим матрицу размерами . Ее строку с номером , будем обозначать . Ее столбец с номером , будем обозначать .

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, т.е. , то матрица называется квадратной порядка . Диагональ этой матрицы, идущая от левого верхнего угла до правого нижнего (т.е. состоящая из элементов ) называется главной диагональю. Квадратная матрица порядка называется единичной матрицей порядка , если все элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные - нулю. Обозначать единичную матрицу порядка будем . Таким образом,

.

Мы использовали матрицы при решении систем двух и трех уравнений, в дальнейшем мы воспользуемся ими для решения систем линейных уравнений общего вида. Но матрицы имеют еще и многочисленные другие применения, которые сделали их предметом большой самостоятельной теории, во многих своих частях выходящей за рамки нашей дисциплины. Сейчас же мы займемся основами этой теории, начинающейся с введения операций над матрицами.

Прежде всего, дадим определения равенства двух матриц. Матрица и матрица называются равными (обозначается ), если для любых и . Подчеркнем, что речь идет только о матрицах одинакового размера. Таким образом, две матрицы равны, если все их соответствующие элементы равны между собой.

Следующая важная операция над матрицами, которая в дальнейшем еще не раз нам встретится, это транспонирование матриц.

Транспонированием матрицы (2.12) называется такое ее преобразование, при котором ее строки становятся ее столбцами с теми же самыми номерами, т.е. переход к матрице

(2.13)

Матрицу, получающуюся из ее транспонированием, будем обозначать .